其位相为：?a?2?ta???0． T3由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点的位相．
4．3 有一弹簧，当其下端挂一质量为M的物体时，伸长量为9.8×10-2m．若使物体上下振动，且规定向下为正方向．
-2
（1）t = 0时，物体在平衡位置上方8.0×10m处，由静止开始向下运动，求运动方程； （2）t = 0时，物体在平衡位置并以0.60m·s-1速度向上运动，求运动方程． [解答]当物体平衡时，有：Mg – kx0 = 0， 所以弹簧的倔强系数为：k = Mg/x0， 物体振动的圆频率为：?s-1)． ?k/M?g/x0= 10(rad·2A?x0?(v0/?)2?|x0|= 8.0×10-2(m)；
设物体的运动方程为：x = Acos(ωt + θ)．
（1）当t = 0时，x0 = -8.0×10-2m，v0 = 0，因此振幅为：由于初位移为x0 = -A，所以cosθ = -1，初位相为：θ = π．
运动方程为：x = 8.0×10-2cos(10t + π)．
（2）当t = 0时，x0 = 0，v0 = -0.60(m·s-1)，因此振幅为：
2A?x0?(v0/?)2= |v0/ω| = 6.0×10-2(m)；
由于cosθ = 0，所以θ = π/2；运动方程为：x = 6.0×10-2cos(10t + π/2)．
4．4 质量为10×10-3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.1cos(8?t?2?)的规律作振动，式中t以秒(s)计，3x以米(m)计．求：
（1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相； （2）振动的速度、加速度的最大值；
（3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；
（4）画出这振动的旋转矢量图，并在图上指明t为1，2，10s等各时刻的矢量位置． [解答]（1）比较简谐振动的标准方程：x = Acos(ωt + θ)，
可知圆频率为：ω =8π，周期T = 2π/ω = 1/4 = 0.25(s)，振幅A = 0.1(m)，初位相θ = 2π/3．
（2）速度的最大值为：vm = ωA = 0.8π = 2.51(m?s-1)； 加速度的最大值为：am = ω2A = 6.4π2 = 63.2(m·s-2)．
（3）弹簧的倔强系数为：k = mω2，最大回复力为:f = kA = mω2A = 0.632(N)； 振动能量为:E = kA2/2 = mω2A2/2 = 3.16×10-2(J)， 平均动能和平均势能为:Ekt=1,2,10s A ?Ep= kA/4 = mωA/4 = 1.58×10
2
22
-2
(J)．
O x （4）如图所示，当t为1，2，10s等时刻时，旋转矢量的位置是相同的．
4．5 两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反．求它们的位相差，并作旋转矢量图表示．
[解答]设它们的振动方程为:x = Acos(ωt + θ)， 当x = A/2时，可得位相为:ωt + θ = ±π/3．
A 由于它们在相遇时反相，可取
Φ1 = (ωt + θ)1 = -π/3， Φ2 = (ωt + θ)2 = π/3， x O 它们的相差为:ΔΦ = Φ2 – Φ1 = 2π/3，
或者:ΔΦ` = 2π –ΔΦ = 4π/3．矢量图如图所示．
4．6 一氢原子在分子中的振动可视为简谐振动．已知氢原子质量m = 1.68×10-27kg，振动频率v = 1.0×1014Hz，振幅A = 1.0×10-11m．试计算：
（1）此氢原子的最大速度； （2）与此振动相联系的能量．
[解答]（1）氢原子的圆频率为:ω = 2πv = 6.28×1014(rad·s-1)， 最大速度为:vm = ωA = 6.28×103(m·s-1)．
（2）氢原子的能量为:E ?12mvm= 3.32×10-20(J)． 2
4．7 如图所示，在一平板下装有弹簧，平板上放一质量为1.0kg的重物，若使平板在竖直方向上作上下简谐振动，周期为0.50s，振幅为2.0×10-2m，求：
（1）平板到最低点时，重物对平板的作用力；
图4.7 （2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物跳离平板？ （3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物跳离平板？ [解答]（1）重物的圆频率为：ω = 2π/T = 4π， 其最大加速度为：am = ω2A， 合力为：F = mam，方向向上．
重物受到板的向上支持力N和向下的重力G，所以F = N – G． 重物对平板的作用力方向向下，大小等于板的支持力： N = G + F = m(g +am) = m(g +ω2A) = 12.96(N)．
（2）当物体的最大加速度向下时，板的支持为：N = m(g - ω2A)． 当重物跳离平板时，N = 0，频率不变时，振幅为：A = g/ω2 = 3.2×10-2(m)．
（3）振幅不变时，频率为：???1?2?2?g= 3.52(Hz)． A
4．8 两轻弹簧与小球串连在一直线上，将两弹簧拉长后系在固定点A和B之间，整个系统放在光滑水平面上．设两弹簧的原长分别为l1和l2，倔强系统分别为k1和k2，A和B间距为L，小球的质量为m．
（1）试确定小球的平衡位置；
A B （2）使小球沿弹簧长度方向作一微小位移后放手，小球将作振动，这一振动是
k1 m k2 否为简谐振动？振动周期为多少？ [解答]（1）这里不计小球的大小，不妨设L > l1 + l2，当小球平衡时，两弹簧分
别拉长x1和x2，因此得方程：L = l1 + x1 + l2 + x2；
图4.8 小球受左右两边的弹簧的弹力分别向左和向右，大小相等，即
k1x1 = k2x2． 将x2 = x1k1/k2代入第一个公式解得：x1k2(L?l1?l2)．
k1?k2k2小球离A点的距离为：L1?l1?x1?l1?(L?l1?l2)．
k1?k2?（2）以平衡位置为原点，取向右的方向为x轴正方向，当小球向右移动一个微小距离x时，左边弹簧拉长为x1 + x，弹力大小为：f1 = k1(x1 + x)，
方向向左；右边弹簧拉长为x1 - x，弹力大小为：f2 = k2(x2 - x)， 方向向右．根据牛顿第二定律得：k2(x2 - x) - k1(x1 + x) = ma，
d2x利用平衡条件得：m2?(k1?k2)x?0，即小球做简谐振动．
dtk1?k22?m小球振动的圆频率为：??，其周期为：T??2?m?k1?k2
．
4．9 如图所示，质量为10g的子弹以速度v = 103m·s-1水平射入木块，并陷入木块
中，使弹簧压缩而作简谐振动．设弹簧的倔强系数 k = 8×103N·m-1，木块的质量为4.99kg，不计桌面摩擦，试求：
（1）振动的振幅； （2）振动方程．
[解答]（1）子弹射入木块时，由于时间很短，木块还来不及运动，弹簧没有被压缩，它们的动量守恒，即：mv = (m + M)v0．
解得子弹射入后的速度为：v0 = mv/(m + M) = 2(m·s-1)，这也是它们振动的初速度．
子弹和木块压缩弹簧的过程机械能守恒，可得：(m + M) v02/2 = kA2/2， 所以振幅为：
m v M 图4.9
k A?v0m?Mk= 5×10-2(m)．
（2）振动的圆频率为：??km?M= 40(rad·s-1)．
取木块静止的位置为原点、向右的方向为位移x的正方向，振动方程可设为：x = Acos(ωt + θ)．
当t = 0时，x = 0，可得：θ = ±π/2；
由于速度为正，所以取负的初位相，因此振动方程为：x = 5×10-2cos(40t - π/2)．
4．10 如图所示，在倔强系数为k的弹簧下，挂一质量为M的托盘．质量为m的物体由距盘底高h处自由下落与盘发生完全非弹性碰撞，而使其作简谐振动，设两物体碰后瞬时为t = 0时刻，求振动方程．
[解答]物体落下后、碰撞前的速度为：v?2gh，
k 物体与托盘做完全非弹簧碰撞后，根据动量守恒定律可得它们的共同速度为
v0?mmv?m?Mm?M2gh，这也是它们振动的初速度．
设振动方程为：x = Acos(ωt + θ)，
k其中圆频率为：??m?M．
m h x1 x 2O 物体没有落下之前，托盘平衡时弹簧伸长为x1，则：x1 = Mg/k．
物体与托盘磁盘之后，在新的平衡位置，弹簧伸长为x2，则：x2 = (M + m)g/k． 取新的平衡位置为原点，取向下的方向为正，则它们振动的初位移为
x0 = x1 - x2 = -mg/k．
M x 图4.10
mg2khmg22ghm22因此振幅为：A?x0?2?(?1?)?k(m?M)g?kk(m?M)初位相为：?
2v0；
?arctan?v02kh??x0(m?M)g．
4．11 装置如图所示，轻弹簧一端固定，另一端与物体m间用细绳相连，细绳跨于桌边定滑轮M上，m悬于细绳下
端．已知弹簧的倔强系数为k = 50N·m-1，滑轮的转动惯量J = 0.02kg·m2，半径R = 0.2m，物体质量为m = 1.5kg，取g = 10m·s-2． M T1 （1）试求这一系统静止时弹簧的伸长量和绳的张力；
k （2）将物体m用手托起0.15m，再突然放手，任物体m下落而整个系统进入
R 振动状态．设绳子长度一定，绳子与滑轮间不打滑，滑轮轴承无摩擦，试证物体m
是做简谐振动； T2 （3）确定物体m的振动周期；
m O （4）取物体m的平衡位置为原点，OX轴竖直向下，设振物体m相对于平衡
图4.11 位置的位移为x，写出振动方程． mg [解答]（1）在平衡时，绳子的张力等于物体的重力 X T = G = mg = 15(N)．
这也是对弹簧的拉力，所以弹簧的伸长为：x0 = mg/k = 0.3(m)．
（2）以物体平衡位置为原点，取向下的方向为正，当物体下落x时，弹簧拉长为x0 + x，因此水平绳子的张力为：T1 = k(x0 + x)．
设竖直绳子的张力为T2，对定滑轮可列转动方程：T2R – T1R = Jβ， 其中β是角加速度，与线加速度的关系是：β = a/R．
对于物体也可列方程：mg - T2 = ma． 转动方程化为：T2 – k(x0 + x) = aJ/R2，
与物体平动方程相加并利用平衡条件得：a(m + J/R2) = –kx，
d2xk?x?0，故物体做简谐振动． 可得微分方程：
dt2m?J/R2k（3）简谐振动的圆频率为：??= 5(rad·s-1)． 2m?J/R周期为：T2 = 2π/ω = 1.26(s)．
（4）设物体振动方程为：x = Acos(ωt + θ)，其中振幅为：A = 0.15(m)． 当t = 0时，x = -0.15m，v0 = 0，可得：cosθ = -1，因此θ = π或-π， 所以振动方程为：x = 0.15cos(5t + π)，或 x = 0.15cos(5t - π)．
4．12 一匀质细圆环质量为m，半径为R，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平光滑面内作小幅度摆动，求摆动的周期．
[解答]通过质心垂直环面有一个轴，环绕此轴的转动惯量为：Ic = mR2． 根据平行轴定理，环绕过O点的平行轴的转动惯量为
I = Ic + mR2 = 2mR2．
当环偏离平衡位置时，重力的力矩为：M = mgRsinθ， 方向与角度θ增加的方向相反．
根据转动定理得：Iβ = -M，
轴在铅垂
O R θ C mg 即
d2?I2?mgRsin??0， dtd2?mgR???0． 由于环做小幅度摆动，所以sinθ≈θ，可得微分方程：dt2ImgR摆动的圆频率为：??，
I周期为：T
4．13 重量为P的物体用两根弹簧竖直悬挂，如图所示，各弹簧的倔强系数标明在图上．试求在图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率．
[解答]（1）前面已经证明：当两根弹簧串联时，总倔强系数为k = k1k2/(k1 + k2)，因此固有频率为
?2???2?I2R?2?mgRg．
?1???2?2?1k?m2?k1k2g(k1?k2)Pk1 k ．
k2 （2）前面还证明：当两根弹簧并联时，总倔强系数等于两个弹簧的倔强系数之和，因此固有频率为
(a) (b)
???1?2?2?2k1?m2?2kgP．
4．14 质量为0.25kg的物体，在弹性力作用下作简谐振动，倔强系数k = 25N·m-1，如果开始振动时具有势能0.6J，和动能0.2J，求：（1）振幅；（2）位移多大时，动能恰等于势能？（3）经过平衡位置时的速度．
[解答]物体的总能量为：E = Ek + Ep = 0.8(J)．
（1）根据能量公式E = kA2/2，得振幅为：A?2E/k= 0.253(m)． （2）当动能等于势能时，即Ek = Ep，由于E = Ek + Ep，可得：E = 2Ep， 即
图4.13
121kA?2?kx2，解得：x??2A/2= ±0.179(m)． 22（3）再根据能量公式E = mvm2/2，得物体经过平衡位置的速度为： s-1)． vm??2E/m= ±2.53(m·
4．15 两个频率和振幅都相同的简谐振动的x-t曲线如图所示，求： （1）两个简谐振动的位相差；
（2）两个简谐振动的合成振动的振动方程． [解答]（1）两个简谐振动的振幅为：A = 5(cm)， 周期为：T = 4(s)，圆频率为：ω =2π/T = π/2， 它们的振动方程分别为：
x1 = Acosωt = 5cosπt/2，
x2 = Asinωt = 5sinπt/2 = 5cos(π/2 - πt/2) 即 x2 = 5cos(πt/2 - π/2)．
位相差为：Δθ = θ2 - θ1 = -π/2．
（2）由于x = x1 + x2 = 5cosπt/2 + 5sinπt/2 = 5(cosπt/2?cosπ/4 + 5sinπt/2?sinπ/4)/sinπ/4 合振动方程为：x
4．16 已知两个同方向简谐振动如下：x1x/cm 5 x1 0 -5 1 x2 2 3 4 t/s
图4.15 ?52cos(t?)(cm)．
24??31?0.05cos(10t??)，x2?0.06cos(10t??)．
55（1）求它们的合成振动的振幅和初位相；
（2）另有一同方向简谐振动x3 = 0.07cos(10t +θ)，问θ为何值时，x1 + x3的振幅为最大？θ为何值时，x2 + x3的振幅为最小？
（3）用旋转矢量图示法表示（1）和（2）两种情况下的结果．x以米计，t以秒计．