1?x`?x2??(?x`)2?(?x)2?t`??1?()cc?x`?x`??x1?(v/c2)，计算它们的相对速度．
= -0.577×10-8(s)．
[注意]在S`系中观察到两事件不是同时发生的，所以间隔Δx` = 2m可以大于间隔Δx = 1m．如果在S`系中观察到两事
件也是同时发生的，那么Δx`就表示运动长度，就不可能大于本征长度Δx，这时可以用长度收缩公式
3．6 一短跑运动员，在地球上以10s的时间跑完了100m的距离，在对地飞行速度为0.8c的飞船上观察，结果如何？ [解答]以地球为S系，则Δt = 10s，Δx = 100m．根据洛仑兹坐标和时间变换公式
x`?x?vt1?(v/c)2和t`?t?vx/c21?(v/c)2，
飞船上观察运动员的运动距离为
?x`??x?v?t1?(v/c)2?100?0.8c?101?0.82?≈-4×109(m)．
运动员运动的时间为
?t`??t?v?x/c21?(v/c)210?0.8?100/c≈16.67(s)．
0.6在飞船上看，地球以0.8c的速度后退，后退时间约为16.67s；运动员的速度远小于地球后退的速度，所以运动员跑步的距离约为地球后退的距离，即4×109m．
3．7 已知S`系以0.8c的速度沿S系x轴正向运动，在S系中测得两事件的时空坐标为x1 = 20m，x2 = 40m，t1 = 4s，t2 = 8s．求S`系中测得的这两件事的时间和空间间隔．
[解答]根据洛仑兹变换可得S`系的时间间隔为
t?t?空间间隔为
`2`1t2?t1?v(x2?x1)/c21?(v/c)2?8?4?0.8(40?20)/c≈6.67(s)．
0.6`x2?x1`?x2?x1?v(t2?t1)1?(v/c)2?40?20?0.8c?(8?4)≈-1.6×109(m)．
0.6
3．8 S系中有一直杆沿x轴方向装置且以0.98c的速度沿x轴正方向运动，S系中的观察者测得杆长10m，另有一观察以0.8c的速度沿S系x轴负向运动，问该观察者测得的杆长若何？
[解答]在S系中的观测的杆长Δl = 10m是运动长度，相对杆静止的参考系为S`，其长度是本征长度，根据尺缩效应
?l??l`1?(v10/c)2，可得杆的本征长度为
?l`??l1?(v10/c)2?101?0.982= 50.25(m)．
另一参考系设为S``系，相对S系的速度为v20 = -0.8c．在S``系观察S`系的速度为
v12?0.98c?(?0.8c)v10?v20?= 0.99796c． 1?0.98(?0.8)1?v10v20/c2= 3.363(m)．
在S``系观察S`系中的杆的长度是另一运动长度
?l``??l`1?(v12/c)2[注意]在涉及多个参考系和多个速度的时候，用双下标能够比较容易地区别不同的速度，例如用v10表示S`相对S系
的速度，用v12表示S`系相对S``系的速度，因此，尺缩的公式也要做相应的改变，计算就不会混淆．
3．9 一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c和0.8c速度相向运动，在地面上观察，5s后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？
[解答]两者相撞的时间间隔Δt = 5s是运动着的对象—飞船和慧星—发生碰撞的时间间隔，因此是运动时．在飞船上观察的碰撞时间间隔Δt`是以速度v = 0.6c运动的系统的本征时，根据时间膨胀公式?t??t`1?(v/c)2，可得时间间隔为
?t`??t1?(v/c)2= 4(s)．
3．10 在太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地面，速率为c，而地球以速率u垂直于光线运动．求在地面上测量，这束星光的大小与方向如何．
[解答]方法一：用速度变换．取太阳系为S系，地球为S`系．在S系中看地y` 球以v = u运动，看星光的速度为 S` y v=u ux = 0，uy = c． x` 地球 星光在S`系中的速度分量为 ux?vu???u
1?uxv/c2`xS c 星光 -u uy` θ` x u`y?uy1?v2/c21?uxv/c2O 太阳 ?c1?u2/c2?c2?u2 星光在S`系中的速度为u``2?ux?u`2y?c，即光速是不变的．
星光在S`系中与y`轴的夹角，即垂直地面的夹角为
?`?arctanuu?arctanu`yc2?u2．
方法二：用基本原理．根据光速不变原理，在地球的S`系中，光速也为c，当地球以速度v = u沿x轴运动时，根据
速度变换公式可得星光的速度沿x`轴的分量为uy` = -u，所以星光速度沿y`轴的分量为
`2u`y?c2?ux/?c2?u2，
从而可求出星光速度垂直地面的夹角为
`uxu?`?arctan`?arctanuyc2?u2．
[注意]解题时，要确定不同的参考系，通常将已知两个物体速度的系统作为S系，另外一个相对静止的系统作为S`
系，而所讨论的对象在不同的参考系中的速度是不同的．
3．11 一粒子动能等于其非相对论动能二倍时，其速度为多少？其动量是按非相对论算得的二倍时，其速度是多少？ [解答]（1）粒子的非相对论动能为Ek = m0v2/2，相对论动能为E`k = mc2 – m0c2， 其中m为运动质量
m?根据题意得
m01?(v/c)2．
m0c21?(v/c)2?m0c2?m0v2，
设x = (v/c)2，方程可简化为1?1?x，或 1?(1?x)1?x， 1?x平方得1 = (1 – x2)(1 - x)，化简得x(x2 – x -1) = 0．由于x不等于0，所以：x2 – x -1 = 0． 解得
x?取正根得速率为
1?5， 2v?c1?52= 0.786c．
（2）粒子的非相对论动量为：p = m0v，相对论动量为：
p`?mv?m0v1?(v/c)2，
根据题意得方程：m0v1?(v/c)2?2m0v．
很容易解得速率为：v?3c= 0.866c． 2 3．12．某快速运动的粒子，其动能为4.8×10-16J，该粒子静止时的总能量为1.6×10-17J，若该粒子的固有寿命为2.6×10-6s，求其能通过的距离．
[解答]在相对论能量关系E = E0 + Ek中，静止能量E0已知，且E0 = m0c2，总能量为
E?mc?所以2m0c21?(v/c)22?E01?(v/c)，
2，
11?(v/c)?E0?EkE0由此得粒子的运动时为?t?E?Ek??t`0E01?(v/c)2?t`，
．
还可得1?(v/c)2?E0E0?Ek解得速率为
v?c1?(E02)E0?Ek．
粒子能够通过的距离为?l
?v?t?c?t`(E0?Ek2)?1?3?108?2.6?10?6(1?30)2?1= 24167.4(m)． E0．
2E0v3．13 试证相对论能量和速度满足如此关系式：?1?2cE[证明]根据上题的过程已得
v?c1?(E02)E0?Ek，将E = E0 + Ek代入公式立可得证．
3．14 静止质子和中子的质量分别为mp = 1.67285×10-27kg，mn = 1.67495×10-27kg，质子和中子结合变成氘核，其静止质量为m0 = 3.34365×10-27kg，求结合过程中所释放出的能量．
[解答]在结合过程中，质量亏损为 Δm = mp + mn - m0 = 3.94988×10-30(kg)， 取c = 3×108(m·s-1)，可得释放出的能量为
ΔE = Δmc2 = 3.554893×10-13(J)． 如果取c = 2.997925×108(m·s-1)，可得释放出的能量为 ΔE = 3.549977×10-13(J)．
第四章 机械振动
4．1 一物体沿x轴做简谐振动，振幅A = 0.12m，周期T = 2s．当t = 0时，物体的位移x = 0.06m，且向x轴正向运动．求：
（1）此简谐振动的表达式；
（2）t = T/4时物体的位置、速度和加速度；
（3）物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．
[解答]（1）设物体的简谐振动方程为x = Acos(ωt + θ)，其中A = 0.12m，角频率ω = 2π/T = π． 当t = 0时，x = 0.06m，所以cosθ = 0.5，因此θ = ±π/3． 物体的速度为v = dx/dt = -ωAsin(ωt + θ)．
当t = 0时，v = -ωAsinθ，由于v > 0，所以sinθ < 0，因此：θ = -π/3．
简谐振动的表达式为：x = 0.12cos(πt – π/3)．
（2）当t = T/4时物体的位置为;x = 0.12cos(π/2 – π/3) = 0.12cosπ/6 = 0.104(m)． 速度为；v = -πAsin(π/2 – π/3) = -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s-1)．
加速度为：a = dv/dt = -ω2Acos(ωt + θ)= -π2Acos(πt - π/3)= -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s-2)．
（3）方法一：求时间差．当x = -0.06m时，可得cos(πt1 - π/3) = -0.5， 因此πt1 - π/3 = ±2π/3．
由于物体向x轴负方向运动，即v < 0，所以sin(πt1 - π/3) > 0，因此πt1 - π/3 = 2π/3，得t1 = 1s．
当物体从x = -0.06m处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此cos(πt2 - π/3) = 0， 可得 πt2 - π/3 = -π/2或3π/2等．由于t2 > 0，所以πt2 - π/3 = 3π/2， 可得 t2 = 11/6 = 1.83(s)．
所需要的时间为：Δt = t2 - t1 = 0.83(s)．
方法二：反向运动．物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x = 0.06m，即从起点向x轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x = 0，v < 0，因此cos(πt - π/3) = 0，可得 πt - π/3 = π/2，解得 t = 5/6 = 0.83(s)．
[注意]根据振动方程x = Acos(ωt + θ)，当t = 0时，可得θ = ±arccos(x0/A)，（-π< θ <= π）， 初位相的取值由速度决定．
由于v = dx/dt = -ωAsin(ωt + θ)，当t = 0时，v = -ωAsinθ，当v > 0时，sinθ < 0，因此 θ = -arccos(x0/A)；
当v < 0时，sinθ > 0，因此θ = arccos(x0/A)π/3．
可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x0 = A时，θ = 0；当初位置x0 = -A时，θ = π．
4．2 已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：
（1）a，b，c，d，e各点的位相，及到达这些状态的时刻t各是多少？已知周期为T； （2）振动表达式；
x （3）画出旋转矢量图．
A a [解答]方法一：由位相求时间． （1）设曲线方程为x = AcosΦ， b A/2 其中A表示振幅，Φ = ωt + θ表示相位．
c O 由于xa = A，所以cosΦa = 1，因此 Φa = 0．
t 由于xb = A/2，所以cosΦb = 0.5，因此 Φb = ±π/3； d 由于位相Φ随时间t增加，b点位相就应该大于a点的位相，因此
Φb = π/3． e 由于xc = 0，所以cosΦc = 0，
图4.2
又由于c点位相大于b位相，因此Φc = π/2．
同理可得其他两点位相为：Φd = 2π/3，Φe = π．
c点和a点的相位之差为π/2，时间之差为T/4，而b点和a点的相位之差为π/3，时间之差应该为T/6．因为b点的位移值与O时刻的位移值相同，所以到达a点的时刻为ta = T/6． 到达b点的时刻为tb = 2ta = T/3．
到达c点的时刻为tc = ta + T/4 = 5T/12． 到达d点的时刻为td = tc + T/12 = T/2． 到达e点的时刻为te = ta + T/2 = 2T/3．
（2）设振动表达式为：x = Acos(ωt + θ)，
当t = 0时，x = A/2时，所以cosθ = 0.5，因此θ = ±π/3； 由于零时刻的位相小于a点的位相，所以θ = -π/3， 因此振动表达式为
x?Acos(2?t??)． T3另外，在O时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此初位相取负值，从而可得运动方程．
（3）如图旋转矢量图所示．
方法二：由时间求位相．将曲线反方向延长与t轴
c 相交于f点，由于xf = 0，根据运动方程，可得 d b cos(2?所以：2?t??)?0 T3e O θ a x tfT??3???2．
A x A a 显然f点的速度大于零，所以取负值，解得
tf = -T/12．
从f点到达a点经过的时间为T/4，所以到达a点的时
A/2f O b c d e 刻为：ta = T/4 + tf = T/6，
t