板绕转轴的转动惯量为I = ma2/3，其角加速度为
，
负号表示角加速度的方向与角速度的方向相反．
由于β = dω/dt，可得转动的微分方程
M3k?2ba2?????I4md?3k?2ba2??dt4m分离变量得
，
3kba2d?dt??24m?积分得
，
3kba21t??C4m?．
当t = 0时，ω = ω0，所以C = -1/ω0，因此转动方程为
3kba211t??4m??0．
当ω = ω0/2时，解得时间为
t?4m3kba2?0．
2．36 一个质量为M，半径为R并以角速度ω旋转的飞轮（可看作匀质圆盘），在某一瞬间突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，如图所示．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上．
（1）问它能上升多高？
（2）求余下部分的角速度、角动量和转动动能． [解答]（1）碎片上抛的初速度为v0 = ωR， 根据匀变速直线运动公式v2 – v02 = -2gh， 可得碎片上升的高度为h = v02/2g =ω2R2/2g．
（2）余下部分的角速度仍为ω，但是转动惯量只有 R I?1MR2?mR22，
121MI??(?m)?2R2222．
ω 图2.36
所以角动量为L = Iω = R2(M/2 – m)ω．
转动动能为
2．37 两滑冰运动员，在相距1.5m的两平行线上相向而行，两人质量分别为mA = 60kg，mB = 70kg，它们速率分别为vA = 7m·s-1，vB = 6m·s-1，当两者最接近时，便函拉起手来，开始绕质心作圆周运动，并保持二者的距离为1.5m．求该瞬时：
（1）系统对通过质心的竖直轴的总角动量；
mA （2）系统的角速度；
（3）两人拉手前、后的总动能．这一过程中能量是否守恒？ vA rA [解答]（1）设质心距A的平行线为rA，距B的平行线为rB，则有
r rA + rB = r，
rB 根据质心的概念可得mArA = mBrB， vB 解方程组得
Ek?mBmArA?rrB?rmA?mB，mA?mB．
两运动员绕质心的角动量的方向相同，他们的总角动量为
mB
L?mAvArA?mBvBrB
?mAmBr(vA?vB)mA?mB= 630(kg·m2·s-1)．
（2）根据角动量守恒定律得L = (IA + IB)ω，
其中IA和IB分别是两绕质心的转动惯量IA = mArA2和IB = mBrB2． 角速度为ω = L/(IA + IB) = 8.67(rad·s-1)．
（3）两人拉手前的总动能就是平动动能
Ek1?1122mAvA?mBvB22= 2730(J)；
拉手后的总动能是绕质心的转动动能：
Ek2?11IA?2?IB?222= 2730(J)，
可见：这一过程能量是守恒的．
[讨论]（1）角动量．根据上面的推导过程可得两人绕质心的总转动惯量为
2I?mArA?mBrB2?mAmBmAmBr2r(rA?rB)?mA?mBmA?mB，
角速度为
??
可见：角速度与两人的质量无关，只与它们的相对速度和平行线的距离有关．
（2）损失的能量．两人的转动动能为
LvA?vB?Ir1mAmB12?(vA?vB)2Ek2?(IA?IB)?2mA?mB2，
因此动能的变化量为 ΔE = Ek2 – Ek1
?1mAmB1122(vA?vB)2?(mAvA?mBvB)2mA?mB22
(mAvA?mBvB)2?E??2(mA?mB)， 简化得
负号表示能量减少．可见：如果mAvA≠mBvB，则ΔE≠0，即能量不守恒．在本题中，由于mAvA = mBvB，所以能量是守恒
的．
2．38 一均匀细棒长为l，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0，在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞，碰撞点位于离棒中心一方l/4处，如图所示，求棒在碰撞后的瞬时绕过O点垂直于棒所在平面的轴转动的角速度ω0．
[解答]以O点为转动轴，棒的质心到轴的距离为l/4，在碰撞之前，棒对转轴的角动量为mv0l/4．在
l/4 O 碰撞之后瞬间，棒绕轴的角动量为Iω0．
棒绕质心的转动惯量为Ic = ml2/12， l/4 根据平行轴定理，棒绕O点为转动惯量为
I?Ic?md 117?ml2?m(l)2?ml212448．
根据角动量守恒定律得mv0l/4 = Iω0，
所以角速度为
2l v0 图2.38
?0?mv0l/I?
1412v07l．
第三章 狭义相对论
3．1 地球虽有自转，但仍可看成一较好的惯性参考系，设在地球赤道和地球某一极（例如南极）上分别放置两个性质完全相同的钟，且这两只钟从地球诞生的那一天便存在．如果地球从形成到现在是50亿年，请问那两只钟指示的时间
差是多少？
[解答]地球的半径约为R = 6400千米 = 6.4×106(m)， 自转一圈的时间是T = 24×60×60(s) = 8.64×104(s)， 赤道上钟的线速度为v = 2πR/T = 4.652×102(m·s-1)．
将地球看成一个良好的参考系，在南极上看赤道上的钟做匀速直线运动，在赤道上看南极的钟做反向的匀速直线运动．
南极和赤道上的钟分别用A和B表示，南极参考系取为S，赤道参考系取为S`．A钟指示S系中的本征时，同时指示了B钟的运动时间，因此又指示S`系的运动时．同理，B钟指示S`系中的本征时，同时指示了A钟的反向运动时间，因此又指示S系的运动时．
方法一：以S系为准．在S系中，A钟指示B钟的运动时间，即运动时 Δt=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s)．
B钟在S`中的位置不变的，指示着本征时Δt`．A钟的运动时Δt和B钟的本征时Δt`之间的关系为
?t??t`1?(v/c)2，
可求得B钟的本征时为
1v?t`??t1?(v/c)2?[1?()2]?t，
2c因此时间差为
?t??t`?1v2()?t=1.898×105(s)． 2c在南极上看，赤道上的钟变慢了．
方法二：以S`系为准．在S`系中，B钟指示A钟的反向运动时间，即运动时 Δt`=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s)．
A钟在S中的位置不变的，指示着本征时Δt．B钟的运动时Δt`和A钟的本征时Δt之间的关系为
?t`??t1?(v/c)2，
可求得A钟的本征时为
1v?t??t`1?(v/c)2?[1?()2]?t`，
2c因此时间差为
1v?t`??t?(2)?t=1.898×`105(s)．
2c在赤道上看，南极上的钟变慢了．
[注意]解此题时，先要确定参考系，还要确定运动时和本征时，才能正确引用公式． 有人直接应用公式计算时间差
1?(v/c)1v1v?[1?()2]?t`??t`?()2?t`，
2c2c由于地球速度远小于光速，所以计算结果差不多，但是关系没有搞清．从公式可知：此人以S系为准来对比两钟的时间，
Δt`是B钟的本征时，Δt是A钟的运动时，而题中的本征时是未知的．
也有人用下面公式计算时间差，也是同样的问题．
?t??t`??t`2??t`
?t`??t??t1?(v/c)2??t
1v1v?[1?()2]?t??t?()2?t
2c2c
3．2 一个“光钟”由两个相距为L0的平面镜A和B构成，对于这个光钟为静止的参考系来说，一个“滴答”的时间是光从镜面A到镜面B再回到原处的时间，其值为?0?镜面都与v垂直，两镜面中心的连线与v平行，在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”η与η0的关系怎样？
??2L0c．若将这个光钟横放在一个以速度v行驶的火车上，使两
?[解答]不论两个“光钟”放在什么地方，η0都是在相对静止的参考系中所计的时间，称为本征时．在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”的时间η是运动时，所以它们的关系为
???01?(v/c)2．
3．3 在惯性系S中同一地点发生的两事件A和B，B晚于A4s；在另一惯性系S`中观察，B晚于A5s发生，求S`系中A和B两事件的空间距离？
[解答]在S系中的两事件A和B在同一地点发生，时间差Δt = 4s是本征时，而S`系中观察A和B两事件肯定不在同一地点，Δt` = 5s是运动时，根据时间膨胀公式
?t`?即
?t1?(v/c)422，
5?，
1?(v/c)可以求两系统的相对速度为
v = 3c/5．
在S`系中A和B两事件的空间距离为
Δl = vΔt` = 3c = 9×108(m)．
3．4 一根直杆在S系中观察，其静止长度为l，与x轴的夹角为θ，S`系沿S系的x轴正向以速度v运动，问S`系中观察到杆子与x`轴的夹角若何？
[解答]直杆在S系中的长度是本征长度，两个方向上的长度分别为lx = lcosθ和ly = lsinθ．
在S`系中观察直杆在y方向上的长度不变，即l`y = ly；在x方向上的长度是运动长度，根据尺缩效应得
`lx?lx1?(v/c)2，
因此
tan?`?`ly`lx?tan?1?(v/c)2，
2?1/2可得夹角为?`?arctan{[1?(v/c)]tan?}．
3．5 S系中观察到两事件同时发生在x轴上，其间距为1m，S`系中观察到这两个事件间距离是2m，求在S`系中这两个事件的时间间隔．
[解答]根据洛仑兹变换，得两个事件的空间和时间间隔公式
?x`??t`??x?v?t1?(v/c)1?(v/c)2，
?t??xv/c22． （1）
由题意得：Δt = 0，Δx = 1m，Δx` = 2m．因此
?x`??t`??x1?(v/c)??xv/c21?(v/c)22，
．（2）
由（2）之上式得它们的相对速度为
v?c1?(?x/?x`)2将（2）之下式除以（2）之上式得
． （3）
?t`v??2?x`c所以
，