大学物理学课后答案(湖南大学出版社)

板绕转轴的转动惯量为I = ma2/3,其角加速度为

负号表示角加速度的方向与角速度的方向相反.

由于β = dω/dt,可得转动的微分方程

M3k?2ba2?????I4md?3k?2ba2??dt4m分离变量得

3kba2d?dt??24m?积分得

3kba21t??C4m?.

当t = 0时,ω = ω0,所以C = -1/ω0,因此转动方程为

3kba211t??4m??0.

当ω = ω0/2时,解得时间为

t?4m3kba2?0.

2.36 一个质量为M,半径为R并以角速度ω旋转的飞轮(可看作匀质圆盘),在某一瞬间突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出,如图所示.假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上.

(1)问它能上升多高?

(2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能. [解答](1)碎片上抛的初速度为v0 = ωR, 根据匀变速直线运动公式v2 – v02 = -2gh, 可得碎片上升的高度为h = v02/2g =ω2R2/2g.

(2)余下部分的角速度仍为ω,但是转动惯量只有 R I?1MR2?mR22,

121MI??(?m)?2R2222.

ω 图2.36

所以角动量为L = Iω = R2(M/2 – m)ω.

转动动能为

2.37 两滑冰运动员,在相距1.5m的两平行线上相向而行,两人质量分别为mA = 60kg,mB = 70kg,它们速率分别为vA = 7m·s-1,vB = 6m·s-1,当两者最接近时,便函拉起手来,开始绕质心作圆周运动,并保持二者的距离为1.5m.求该瞬时:

(1)系统对通过质心的竖直轴的总角动量;

mA (2)系统的角速度;

(3)两人拉手前、后的总动能.这一过程中能量是否守恒? vA rA [解答](1)设质心距A的平行线为rA,距B的平行线为rB,则有

r rA + rB = r,

rB 根据质心的概念可得mArA = mBrB, vB 解方程组得

Ek?mBmArA?rrB?rmA?mB,mA?mB.

两运动员绕质心的角动量的方向相同,他们的总角动量为

mB

L?mAvArA?mBvBrB

?mAmBr(vA?vB)mA?mB= 630(kg·m2·s-1).

(2)根据角动量守恒定律得L = (IA + IB)ω,

其中IA和IB分别是两绕质心的转动惯量IA = mArA2和IB = mBrB2. 角速度为ω = L/(IA + IB) = 8.67(rad·s-1).

(3)两人拉手前的总动能就是平动动能

Ek1?1122mAvA?mBvB22= 2730(J);

拉手后的总动能是绕质心的转动动能:

Ek2?11IA?2?IB?222= 2730(J),

可见:这一过程能量是守恒的.

[讨论](1)角动量.根据上面的推导过程可得两人绕质心的总转动惯量为

2I?mArA?mBrB2?mAmBmAmBr2r(rA?rB)?mA?mBmA?mB,

角速度为

??

可见:角速度与两人的质量无关,只与它们的相对速度和平行线的距离有关.

(2)损失的能量.两人的转动动能为

LvA?vB?Ir1mAmB12?(vA?vB)2Ek2?(IA?IB)?2mA?mB2,

因此动能的变化量为 ΔE = Ek2 – Ek1

?1mAmB1122(vA?vB)2?(mAvA?mBvB)2mA?mB22

(mAvA?mBvB)2?E??2(mA?mB), 简化得

负号表示能量减少.可见:如果mAvA≠mBvB,则ΔE≠0,即能量不守恒.在本题中,由于mAvA = mBvB,所以能量是守恒

的.

2.38 一均匀细棒长为l,质量为m,以与棒长方向相垂直的速度v0,在光滑水平面内平动时,与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞,碰撞点位于离棒中心一方l/4处,如图所示,求棒在碰撞后的瞬时绕过O点垂直于棒所在平面的轴转动的角速度ω0.

[解答]以O点为转动轴,棒的质心到轴的距离为l/4,在碰撞之前,棒对转轴的角动量为mv0l/4.在

l/4 O 碰撞之后瞬间,棒绕轴的角动量为Iω0.

棒绕质心的转动惯量为Ic = ml2/12, l/4 根据平行轴定理,棒绕O点为转动惯量为

I?Ic?md 117?ml2?m(l)2?ml212448.

根据角动量守恒定律得mv0l/4 = Iω0,

所以角速度为

2l v0 图2.38

?0?mv0l/I?

1412v07l.

第三章 狭义相对论

3.1 地球虽有自转,但仍可看成一较好的惯性参考系,设在地球赤道和地球某一极(例如南极)上分别放置两个性质完全相同的钟,且这两只钟从地球诞生的那一天便存在.如果地球从形成到现在是50亿年,请问那两只钟指示的时间

差是多少?

[解答]地球的半径约为R = 6400千米 = 6.4×106(m), 自转一圈的时间是T = 24×60×60(s) = 8.64×104(s), 赤道上钟的线速度为v = 2πR/T = 4.652×102(m·s-1).

将地球看成一个良好的参考系,在南极上看赤道上的钟做匀速直线运动,在赤道上看南极的钟做反向的匀速直线运动.

南极和赤道上的钟分别用A和B表示,南极参考系取为S,赤道参考系取为S`.A钟指示S系中的本征时,同时指示了B钟的运动时间,因此又指示S`系的运动时.同理,B钟指示S`系中的本征时,同时指示了A钟的反向运动时间,因此又指示S系的运动时.

方法一:以S系为准.在S系中,A钟指示B钟的运动时间,即运动时 Δt=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s).

B钟在S`中的位置不变的,指示着本征时Δt`.A钟的运动时Δt和B钟的本征时Δt`之间的关系为

?t??t`1?(v/c)2,

可求得B钟的本征时为

1v?t`??t1?(v/c)2?[1?()2]?t,

2c因此时间差为

?t??t`?1v2()?t=1.898×105(s). 2c在南极上看,赤道上的钟变慢了.

方法二:以S`系为准.在S`系中,B钟指示A钟的反向运动时间,即运动时 Δt`=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s).

A钟在S中的位置不变的,指示着本征时Δt.B钟的运动时Δt`和A钟的本征时Δt之间的关系为

?t`??t1?(v/c)2,

可求得A钟的本征时为

1v?t??t`1?(v/c)2?[1?()2]?t`,

2c因此时间差为

1v?t`??t?(2)?t=1.898×`105(s).

2c在赤道上看,南极上的钟变慢了.

[注意]解此题时,先要确定参考系,还要确定运动时和本征时,才能正确引用公式. 有人直接应用公式计算时间差

1?(v/c)1v1v?[1?()2]?t`??t`?()2?t`,

2c2c由于地球速度远小于光速,所以计算结果差不多,但是关系没有搞清.从公式可知:此人以S系为准来对比两钟的时间,

Δt`是B钟的本征时,Δt是A钟的运动时,而题中的本征时是未知的.

也有人用下面公式计算时间差,也是同样的问题.

?t??t`??t`2??t`

?t`??t??t1?(v/c)2??t

1v1v?[1?()2]?t??t?()2?t

2c2c

3.2 一个“光钟”由两个相距为L0的平面镜A和B构成,对于这个光钟为静止的参考系来说,一个“滴答”的时间是光从镜面A到镜面B再回到原处的时间,其值为?0?镜面都与v垂直,两镜面中心的连线与v平行,在铁轨参考系中观察,火车上钟的一个“滴答”η与η0的关系怎样?

??2L0c.若将这个光钟横放在一个以速度v行驶的火车上,使两

?[解答]不论两个“光钟”放在什么地方,η0都是在相对静止的参考系中所计的时间,称为本征时.在铁轨参考系中观察,火车上钟的一个“滴答”的时间η是运动时,所以它们的关系为

???01?(v/c)2.

3.3 在惯性系S中同一地点发生的两事件A和B,B晚于A4s;在另一惯性系S`中观察,B晚于A5s发生,求S`系中A和B两事件的空间距离?

[解答]在S系中的两事件A和B在同一地点发生,时间差Δt = 4s是本征时,而S`系中观察A和B两事件肯定不在同一地点,Δt` = 5s是运动时,根据时间膨胀公式

?t`?即

?t1?(v/c)422,

5?,

1?(v/c)可以求两系统的相对速度为

v = 3c/5.

在S`系中A和B两事件的空间距离为

Δl = vΔt` = 3c = 9×108(m).

3.4 一根直杆在S系中观察,其静止长度为l,与x轴的夹角为θ,S`系沿S系的x轴正向以速度v运动,问S`系中观察到杆子与x`轴的夹角若何?

[解答]直杆在S系中的长度是本征长度,两个方向上的长度分别为lx = lcosθ和ly = lsinθ.

在S`系中观察直杆在y方向上的长度不变,即l`y = ly;在x方向上的长度是运动长度,根据尺缩效应得

`lx?lx1?(v/c)2,

因此

tan?`?`ly`lx?tan?1?(v/c)2,

2?1/2可得夹角为?`?arctan{[1?(v/c)]tan?}.

3.5 S系中观察到两事件同时发生在x轴上,其间距为1m,S`系中观察到这两个事件间距离是2m,求在S`系中这两个事件的时间间隔.

[解答]根据洛仑兹变换,得两个事件的空间和时间间隔公式

?x`??t`??x?v?t1?(v/c)1?(v/c)2,

?t??xv/c22. (1)

由题意得:Δt = 0,Δx = 1m,Δx` = 2m.因此

?x`??t`??x1?(v/c)??xv/c21?(v/c)22,

.(2)

由(2)之上式得它们的相对速度为

v?c1?(?x/?x`)2将(2)之下式除以(2)之上式得

. (3)

?t`v??2?x`c所以

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