同理可得薄板对OY轴的转动惯量为
IOY?1Ma212．
（2）方法一：平行轴定理．在板上取一长为b，宽为
dx的矩形元，其面积为dS = bdx， 质量为dm = ζdS，
绕过质心的O`Z`轴的转动惯量等于绕OX轴的转动惯量dIO`Z` = b2dm/12．
根据平行轴定理，矩形元对OZ轴的转动惯量为 dIOZ = x2dm + dIO`Z` = ζbx2dx + b2dm/12， 积分得薄板对OZ轴的转动惯量为
IOZM112??b?xdx?b?dm??bx31203?a/22a/2a/2??a/212bM?1M(a2?b2)1212．
方法二：垂直轴定理．在板上取一质量元dm，绕OZ轴的转动惯量为dIOZ = r2dm．
由于r2 = x2 + y2，所以dIOZ = (x2 + y2)dm = dIOY + dIOX， 因此板绕OZ轴的转动惯量为
IOZ?IOY?IOX?1M(a2?b2)12．
2．28 一半圆形细杆，半径为R，质量为M，求对过细杆二端AA`轴的转动惯量． [解答]半圆的长度为C = πR，质量的线密度为λ = M/C． 在半圆上取一弧元ds = Rdθ，其质量为dm = λds，
到AA`轴的距离为r = Rsinθ，绕此轴的转动惯量为dI = r2dm = λR3sin2θdθ， 半圆绕AA`轴的转动惯量为
πI??R?sin?d???R032π31(1?cos2?)d??20
R A θ A` ?
2．29 如图所示，在质量为M，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔．圆孔中心在圆盘半径的中点．求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量．
[解答]大圆的面积为S = πR2， 质量的面密度为ζ = M/S．
大圆绕过圆心且与盘面垂直的轴线的转动惯量为IM = MR2/2．
R 小圆的面积为s = πr2，质量为m = ζs，
2
绕过自己圆心且垂直圆面的轴的转动惯量为IC = mr/2， r r 根据平行轴定理，绕大圆轴的转动惯量为 O Im = IC + m(R/2)2．
π1?R3?MR222
图2.28
R1Im?IC?m()2?m(2r2?R2)24
21r1???r2(2r2?R2)?M2(2r2?R2)44R，
剩余部分的转动惯量为
图2.29
12r422I?IM?2Im?M(R?r?2)2R．
?在剖杆一端加竖直方向的制动力F，可使飞轮减速．闸杆尺寸如图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦因数μ = 0.4，飞轮的转
动惯量可按匀质圆盘计算．
（1）设F = 100N，问可使飞轮在多长时间内停止转动？这段时间飞轮转了多少转？ （2）若要在2s内使飞轮转速减为一半，需加多大的制动力F？ [解答]设飞轮对闸瓦的支持力为N`，以左端为转动轴， 在力矩平衡时有：0.5N` – 1.25F = 0，
2．30 飞轮质量m = 60kg，半径R = 0.25m，绕水平中心轴O转动，转速为900r·min-1．现利用一制动用的轻质闸瓦，
所以：N`=2.5F = 250(N)．
闸瓦对飞轮的压力为;N = N`= 250(N)， 与飞轮之间摩擦力为：f = μN = 100(N)， 摩擦力产生的力矩为：M = fR． F 0.50 0.75 飞轮的转动惯量为：I = mR2/2，
角加速度大小为：β = -M/I = -2f/mR = -40/3(rad·s-2)， 负号表示其方向与角速度的方向相反．
飞轮的初角速度为ω0 = 30π(rad?s-1)． O 根据公式ω = ω0 + βt，当ω = 0时，t = -ω0/β = 7.07(s)．
再根据公式ω2 = ω02 + 2βθ，可得飞轮转过的角度为θ = -ω02/2β = 333(rad)， 图2.30 转过的圈数为n = θ/2π = 53r．
[注意]圈数等于角度的弧度数除以2π．
（2）当t = 2s，ω = ω0/2时，角加速度为β = -ω0/2t = -7.5π．力矩为M = -Iβ， 摩擦力为f = M/R = -mRβ/2 = (7.5)2π．闸瓦对飞轮的压力为N = f/μ， 需要的制动力为F = N/2.5 = (7.5)2π = 176.7(N)．
2．31一轻绳绕于r = 0.2m的飞轮边缘，以恒力F = 98N拉绳，如图（a）所示．已知飞轮的转动惯量I = 0.5kg·m2，轴承无摩擦．求
（1）飞轮的角加速度．
（2）绳子拉下5m时，飞轮的角速度和动能．
（3）将重力P = 98N的物体挂在绳端，如图（b）所示，再求上面的结果． [解答]（1）恒力的力矩为M = Fr = 19.6(N·m)，
-2
对飞轮产生角加速度为β = M/I = 39.2(rad·s)．
（2）方法一：用运动学公式．飞轮转过的角度为
θ = s/r = 25(rad)，
由于飞轮开始静止，根据公式ω2 = 2βθ，可得角速度为 ??2??= 44.27(rad·s-1)； 飞轮的转动动能为Ek = Iω2/2 = 490(J)．
方法二：用动力学定理．拉力的功为W = Fs = 490(J)， 根据动能定理，这就是飞轮的转动动能Ek．
根据公式Ek = Iω2/2，得角速度为
m F=98N P=98N (b) (a)
图2.31
= 44.27(rad·s-1)．
(3)物体的质量为m = P/g = 10(kg)．设绳子的张力为T，则P – T = ma，Tr = Iβ． 由于a = βr，可得Pr = mr2β + Iβ，解得角加速度为
??2Ek/I??= 21.8(rad·s-2)．
绳子的张力为
Prmr2?IT?= 54.4(N)．
张力所做的功为W` = Ts = 272.2(J)，
`?`?2E/Ik这就是飞轮此时的转动动能E`．飞轮的角速度为
k
I?IP?rmr2?I= 33(rad·s-1)．
2．32质量为m，半径为R的均匀圆盘在水平面上绕中心轴转动，如图所示．盘与水平面的摩擦因数为μ，圆盘从初角速度为ω0到停止转动，共转了多少圈？
[解答]圆盘对水平面的压力为N = mg，
压在水平面上的面积为S = πR2，压强为p = N/S = mg/πR2． ω0 当圆盘滑动时，在盘上取一半径为r、对应角为dθ面积元，
O R 其面积为dS = rdθdr，
对水平面的压力为dN = pdS = prdrdθ， 所受的摩擦力为df = μdN = μprdrdθ，
图2.32 其方向与半径垂直，摩擦力产生的力矩为dM = rdf = μpr2drdθ，
总力矩为
M??2?0?R0132?2π?pR??mgR?prdrd?33．
2圆盘的转动惯量为I = mR2/2，
角加速度大小为
???，
负号表示其方向与角速度的方向相反．
根据转动公式ω2 = ω02 + 2βθ，当圆盘停止下来时ω = 0，所以圆盘转过的角度为
22?03?0R????2?8?g，
M4?g??I3R转过的圈数为
23?0R?n??2?16??g．
[注意]在圆盘上取一个细圆环，其面积为ds = 2πrdr，这样计算力矩等更简单。 2．33一个轻质弹簧的倔强系数为k = 2.0N·m-1．它的一端固定，另一端通过一条细线绕过定滑轮和一个质量为m1 = 80g的物体相连，如图所示．定滑轮可看作均匀圆盘，它的半径为r = 0.05m，质量为m = 100g．先用手托住物体m1，使弹簧处于其自然长度，然后松手．求物体m1下降h = 0.5m时的速度多大？忽略滑轮轴上的摩擦，并认为绳在滑轮边上不打滑．
[解答]根据机械能守恒定律可列方程
111m1gh?m1v2?I?2?kh2222，
其中I = mr2/2，ω = v/r，可得
2m1gh – kh2 = m1v2 + mv2/2，
解得
m r m1 图2.33 h m1 v?2m1gh?kh2m1?m/2= 1.48(m·s-1)．
2．34均质圆轮A的质量为M1，半径为R1，以角速度ω绕OA杆的A端转动，此时，将其放置在另一质量为M2的均质圆轮B上，B轮的半径为R2．B轮原来静止，但可绕其几何中心轴自由转动．放置后，A轮的重量由B轮支持．略去轴承的摩擦与杆OA的重量，并设两轮间的摩擦因素
为μ，问自A轮放在B轮上到两轮间没有相对滑动为止，需要经过多长时间？
[解答]圆轮A对B的压力为 N = M1g， 两轮之间的摩擦力大小为 f = μN = μM1g， O A 摩擦力对A的力矩大小为MA = fR1 = μM1gR1，
R1 摩擦力对B的力矩大小为MB = fR2 = μM1gR2，
设A和B的角加速度大小分别为βA和βB，转动惯量分别为IA和IB， 根据转动定理得方程MA = IAβA， 即 βA = MA/IA． B 同理可得βB = MB/IB．
R2 当两轮没有相对滑动时，它们就具有相同的线速度v，A的角速度为ωA = v/R1，
B的角速度为ωB = v/R2．
根据转动运动学的公式得ωA – ω = -βAt，ωB = βBt， 即 v/R1 – ω = -βAt，v/R2 = βBt， 化得 v - ωR1 = -βAR1t，v = βBR2t， 将后式减前式得ωR1 = (R1βA + R2βB)t， 解得
t??R1经过的时间为
R1?A?R2?BR1MA/IA?R2MB/IB?R1?R1?M1gR1R2?M1gR2?112M1R12M2R222
?R1?2?g?2?gM1/M2
??R1
t??M2R12?g(M1?M2)．
既可以用
[注意]在此题中，由于A、B两轮不是绕着同一轴转动的，所以不能用角动量守恒定律． 如果A轮的轮面放在B轮的轮面之上，且两轮共轴，在求解同样的问题时，转动定律求解，也可以结合角动量守恒定律求解．
当它们之间没有滑动时，角动量为ω`，根据角动量守恒定律得 A B IAω = (IA+IB)ω`， R1 R2 因此得ω` = IAω/(IA + IB)．
（1）设R1≦R2，那么A轮压在B轮上的面积为S = πR12， 压强为p = M1g/S = M1g/πR12．
当A轮在B轮上产生滑动时，在A轮上取一半径为r、对应角为dθ面积元，其面积为dS = rdθdr， 对B轮的压力为dN = pdS = prdrdθ， 所受的摩擦力为df = μdN = μprdrdθ，
其方向与半径垂直，摩擦力产生的力矩为dM = rdf = μpr2drdθ， 总力矩为
M??2?0?R10?pr2drd?
12?2π?pR13??M1gR133．
这是A轮所受的力矩，也是B轮所受的力矩．根据转动定理得B轮的角加速度为βB = M/IB．
根据转动公式ω` = βBt，得时间为
t?I?IB?`?A??BIA?IBM211
?MR/2M2R22/2??22M1R1/2?M2R2/22?M1gR1/3，
即
3M2R22R?1t?224?g(M1R1?M2R2)．
A r B dr R1 （2）如果R1≧R2，那么A轮压在B轮上的面积为S = πR22， 压强为p = M1g/S = M1g/πR22．
同样在A轮上取一面积元，力矩的积分上限就是R2．总力矩为
M???prdr?d?00R222?
132?2π?pR2??M1gR233，
由此求得时间就变为
3M2R12R2?t?24?g(M1R12?M2R2)．
t?只有当R1 = R2时，两个时间才是相同的：
2．35 均质矩形薄板绕竖直边转动，初始角速度为ω0，转动时受到空气的阻力．阻力垂直于板面，每一小面积所受阻力的大小与其面积及速度的平方的乘积成正比，比例常数为k．试计算经过多少时间，薄板角速度减为原来的一半．设薄板竖直边长为b，宽为a，薄板质量为m．
[解答]在板上距离转轴为r处取一长度为b，宽度为dr的面积元，其面积为dS = bdr． 当板的角速度ω时，面积元的速率为v = ωr， 所受的阻力为df = kv2dS = kω2r2bdr， 阻力产生的力矩为dM = rdf = kω2r3bdr， a 因此合力矩为
3M2R1?3M2R2??4?g(M1?M2)4?g(M1?M2)．
M??k?2br3dr?0a124k?ba4．
O r dS 图2.35
b r