W??(W1?W2)?(1?22??k)mgR22．
由此可见，重力和摩擦力都做负功，拉力做正功．
2．18 一质量为m的质点拴在细绳的一端，绳的另一端固定，此质点在粗糙水平面上作半径为r的圆周运动．设质点最初的速率是v0，当它运动1周时，其速率变为v0/2，求：
（1）摩擦力所做的功； （2）滑动摩擦因数；
（3）在静止以前质点运动了多少圈？
[解答] （1）质点的初动能为：E1 = mv02/2， 末动能为：E2 = mv2/2 = mv02/8，
动能的增量为：ΔEk = E2 – E1 = -3mv02/8， 这就是摩擦力所做的功W．
（2）由于dW = -fds = -μkNds = -μkmgrdθ，积分得：
W??(??kmgr)d???2??kmgr02?．
由于W = ΔE，可得滑动摩擦因数为
23v0?k?16πgr．
（3）在自然坐标中，质点的切向加速度为：at = f/m = -μkg， 根据公式vt2 – vo2 = 2ats，可得质点运动的弧长为
22v0v08?rs???2a2?kg3，
圈数为 n = s/2πr = 4/3．
[注意]根据用动能定理，摩擦力所做的功等于质点动能的增量：-fs = ΔE k， 可得 s = -ΔE k/f，由此也能计算弧长和圈数。
2．19 如图所示，物体A的质量m = 0.5kg，静止于光滑斜面上．它与固定在斜面底B端的弹簧M相距s = 3m．弹簧的倔强系数k = 400N·m-1．斜面倾角为45°．求当物体A由静止下滑时，能使弹簧长度产生的最大压缩量是多大？
[解答]取弹簧自然伸长处为重力势能和弹性势能的零势点，由于物体A和弹簧组成的系统只有保守力做功，所以机械能守恒，当弹簧压缩量最大时，可得方程
A s = 3m B θ = 45° 图2.19
1mgssin???mgxsin??kx22，
整理和一元二次方程
12kx?mgxsin??mgssin??02，
解得
mgsin??(mgsin?)2?2kmgsin?x?k
= 0.24(m)（取正根）．
2．20 一个小球与另一质量相等的静止小球发生弹性碰撞．如果碰撞不是对心的，试证明：碰撞后两小球的运动方
向彼此垂直．
[证明]设一个小球碰撞前后的速度大小分别为v0和v1，另一小球的在碰撞后的速度大小为v2，根据机械能守恒得
121212mv0?mv1?mv2222，
22v0?v12?v2； ???p?p1?p2， 根据动量守恒得：0即
p1 p0 其中各动量的大小为：p0 = mv0、p1 = mv1和p2 = mv2，
θ p2 ??p对矢量式两边同时平方并利用1?p2?mv1mv2cos? 得：
22p0?p12?p2?2p1p2cos?， 2202v?m2v12?m2v2?2m2v1v2cos?
即：m222v?v?v?2v1v2cos?， 012化简得：
结合机械能守恒公式得：2v1v2cosθ = 0，
由于v1和v2不为零，所以：θ = π/2，即碰撞后两小球的运动方向彼此垂直．
2．21如图所示，质量为1.0kg的钢球m1系在长为0.8m的绳的一端，绳的另一端O固定．把绳拉到水平位置后，再把它由静止释放，球在最低点处与质量为5.0kg的钢块m2作完全弹性碰撞，求碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度． [解答]钢球下落后、碰撞前的速率为：v1?2gl．
钢球与钢块碰撞之后的速率分别为v1`和v1`，根据机械能守恒和动量守恒得方程
11122m1v12?m1v`1?m2v`2222，
m1v1?mv?mv整理得m1(v12`11`22．
m1 = 0.8m O 22?v`1)?m2v`2
``m1(v1?v1)?m2v2．
m2 图2.21
将上式除以下式得：v1 + v1` = v2`， 代入整理的下式得
``m1v1?m1v1?m2v1?m2v1，
v1`?解得
碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度为
(m1?m2)v1m1?m2．
v1`21m1?m222m?m22)lh??()v1?(1m1?m2= 0.36(m)． 2g2gm1?m2[讨论]如果两个物体的初速率都不为零，发生对心弹性碰撞时，同样可列出机械能和动量守恒方程
1111222m1v12?m2v2?m1v`1?m2v`22222，
````m1v1?m2v2?m1v1?m2v2v?v?v?v1122．同理可得．
v1`?从而解得
将下标1和2对调得
`v2?(m1?m2)v1?2m2v2m1?m2v1`?，或者
`v2?2(m1v1?m2v2)?v1m1?m2；
(m2?m1)v2?2m1v1m1?m2，或者
2(m1v1?m2v2)?v2m1?m2．
m1v1?m2v2后一公式很好记忆，其中m1?m2代表质心速度．
2．22一质量为m的物体，从质量为M的圆弧形槽顶端由静止滑下，设圆弧形槽的半径为R，张角为π/2，如图所示，所有摩擦都忽略，求：
（1）物体刚离开槽底端时，物体和槽的速度各是多少？ （2）在物体从A滑到B的过程中，物体对槽所做的功W； m （3）物体到达B时对槽的压力． A [解答]（1）物体运动到槽底时，根据机械能定律守恒得
11mgR?mv2?MV222，
根据动量守恒定律得： 0 = mv + MV．
V M R v B 图2.22
因此
mgR?解得
11121(mv)2mv?(MV)2?mv2?22M22M，
， 从而解得：
（2）物体对槽所做的功等于槽的动能的增量
2MgRv?M?mV??m2gRM(M?m)．
1m2gR2W?MV?2M?m．
（3）物体在槽底相对于槽的速度为
v`?v?V?(1?2(M?m)gRmM?m)v?v?MMM，
物体受槽的支持力为N，则
v`2N?mg?mR因此物体对槽的压力为
，
v`22mN`?mg?m?(3?)mgRM．
2．23 在实验室内观察到相距很远的一个质子（质量为mp）和一个氦核（质量为4mp）沿一直线相向运动；速率都是v0，求两者能达到的最近距离．
[解答] 当两个粒子相距最近时，速度相等，根据动量守恒定律得 4mpv0 - mpv0 = (4mp + mp)v，因此v = 3v0/5．
质子和氦核都带正电，带电量分别为e和2e，它们之间的库仑力是保守力．根据能量守恒定律得
1112e2222mpv0?(4mp)v0?(5mp)v?k222rm2e25822k?mp(v0?v2)?mpv0rm25因此， 5ke2rm?24mvp0所以最近距离为：
，
l ．
θ m 图2.24 2．24 如图所示，有一个在竖直平面上摆动的单摆．问：
（1）摆球对悬挂点的角动量守恒吗？
（2）求出t时刻小球对悬挂点的角动量的方向，对于不同的时刻，角动量的方向会改变吗？ （3）计算摆球在θ角时对悬挂点角动量的变化率．
[解答]（1）由于单摆速度的大小在不断发生改变，而方向与弧相切，因此动量矩l不变；由于角动量L = mvl，所以角动量不守恒．
（2）当单摆逆时针运动时，角动量的方向垂直纸面向外；当单摆顺时针运动时，角动量的方向垂直纸面向里，因此，在不同的时刻，角动量的方向会改变．
（3）质点对固定点的角动量的变化率等于质点所受合外力对同一点的力矩，因此角动量的变化率为
l θ N mg dL?M?F?l?mglsin?dt
．
E??2．25证明行星在轨道上运动的总能量为阳和行星轨道的近日点和远日点的距离．
[证明]设行星在近日点和远日点的速度分别为v1和v2，由于只有保守力做功，所
GMmr1?r2．式中M和m分别为太阳和行星的质量，r1和r2分别为太
v2 r1 v1 r2 以机械能守恒，总能量为
E?12GMmmv1?2r1 （1）
E?和
它们所组成的系统不受外力矩作用，所以行星的角动量守恒．行星在两点的位矢方向与速度方向垂直，可得角动量守恒方程
mv1r1 = mv2r2，即 v1r1 = v2r2． (3)
将（1）式各项同乘以r12得：Er12 = m(v1r1)2/2 - GMmr1， (4) 将（2）式各项同乘以r22得：Er22 = m(v2r2)2/2 - GMmr2， (5)
将（5）式减（4）式，利用（3）式，可得：E(r22 - r12) = -GMm(r2 - r1)， (6) 由于r1不等于r2，所以：（r2 + r1)E = -GMm，
12GMmmv2?2r2． （2）
E??故
GMmr1?r2． 证毕．
（三） 刚体定轴转动
2．26质量为M的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为R1和R2，求对通过其中心轴的转动惯量． [解答]设圆柱体的高为H，其体积为 V = π(R22 – R12)h， O 体密度为
ρ = M/V．
在圆柱体中取一面积为S = 2πRH，厚度为dr的薄圆壳，体积元为
dV = Sdr = 2πrHdr， R1 H 其质量为
dm = ρdV， R2 绕中心轴的转动惯量为
dI = r2dm = 2πρHr3dr， 总转动惯量为
14I?2??H?r3dr???H(R2?R14)R12
R2O` 图2.26
1?m(R22?R12)2．
2．27 一矩形均匀薄板，边长为a和b，质量为M，中心O取为原点，坐标系OXYZ如图所示．试证明： （1）薄板对OX轴的转动惯量为
IOX?1Mb212；
IOZ?1M(a2?b2)12．
b Z O Y a （2）薄板对OZ轴的转动惯量为
[证明] 薄板的面积为S = ab， 质量面密度为ζ = M/S．
（1）在板上取一长为a，宽为dy的矩形元，其面积为dS = ady， 其质量为dm =ζdS，
绕X轴的转动惯量为dIOX = y2dm = ζay2dy， 积分得薄板对OX轴的转动惯量为
X 图2.27
1IOX??a?ydy??ay33?b/211??ab3?Mb21212．
2b/2b/2?b/2
Y a r y O` X O x Z Z` b