习 题 一
1-1 一质点在平面xOy内运动，运动方程为x?2t，y?19?2t2 （SI）．（1）求质点的运动轨道；（2）求t?1s和t?2s时刻质点的位置矢量；（3）求t?1s和t?2s时刻质点的瞬时速度和瞬时加速度；（4）在什么时刻，质点的位置矢量和速度矢量垂直?这时x、y分量各为多少?（5）在什么时刻，质点离原点最近?最近距离为多大?
[解] 质点的运动方程x?2t，y?19?2t2 （1）消去参数t，得轨道方程为:
1y?19?x2 ?x?0?
2（2）把t?1s代入运动方程，得
r?xi?yj?2i?17j 把t?2s代入运动方程，得
r?2?2i??19?2?22?j?4i?11j
（3）由速度、加速度定义式，有
vx?dx/dt?2,vy?dy/dt??4tax?dvx/dt?0,ay?dvy/dt??4所以，t时刻质点的速度和加速度分别为
v?vxi?vyj?2i?4tj
a?axi?ayj??4j
所以，t?1s时，v?2i?4j，a??4j t?2s时，v?2i?8j，a??4j （4）当质点的位置矢量和速度矢量垂直时，有
r?v?0
即 2ti?19?2t2j??2i?4tj??0 整理，得 t3?9t?0
解得 t1?0； t2?3；t3??3（舍去）
????t?0s时,x1?0,y1?19m t?3s时,x2?6m,y2?1m
（5）任一时刻t质点离原点的距离
r?t?? 令
x2?y2??2t?2??19?2t2?2
dr?0可得 t?3 dt 所以，t?3s时，质点离原点最近 r?3??6.08m
1-1
1-2 一粒子按规律x?t3?3t2?9t?5沿x轴运动，试分别求出该粒子沿x轴正向运动；沿x轴负向运动；加速运动；减速运动的时间间隔．
[解] 由运动方程x?t3?3t2?9t?5可得 质点的速度 v?dx ?3t2?6t?9?3?t?3??t?1? （1）
dtdv粒子的加速度 a?（2） ?6?t?1?
dt由式（1）可看出 当t 当t由式（2）可看出 当t 当t?3s时，v?0，粒子沿x轴正向运动； ?3s 时，v?0，粒子沿x轴负向运动．
?1s 时，a?0，粒子的加速度沿x轴正方向； ?1s 时，a?0，粒子的加速度沿x轴负方向．
因为粒子的加速度与速度同方向时，粒子加速运动，反向时，减速运动，所以，当t?3s或0?t?1s间隔内粒子加速运动，在1s?t?3s间隔内里粒子减速运动．
1-3 一质点的运动学方程为x?t2，y??t?1? （S1）．试求： （1）质点的轨迹方程;
2（2）在t?2s时，质点的速度和加速度．
[解] （1） 由质点的运动方程 x?t2 （1）
y??t?1? （2）
2 消去参数t，可得质点的轨迹方程 y??x?1
?2 （2） 由（1）、（2）对时间t求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度 vx?dxdy?2t vy??2?t?1? dtdt所以 v?vxi?vyj?2ti?2?t?1?j （3）
d2xd2y?2 ay??2 ax?dt2dt2 所以 a?2i?2j （4） 把t?2s代入式（3）、（4），可得该时刻质点的速度和加速度． v?4i?2j a?2i?2j
1-4 质点的运动学方程为x?Asin?t，y?Bcos?t，其中 A、B、?为正常数，质点的轨道为一椭圆．试证明质点的加速度矢量恒指向椭圆的中心．
?t （1） [证明] 由质点的运动方程 x?Asinst （2） y?Bco?d2x??A?2sin?t 对时间t求二阶导数，得质点的加速度 ax?2dtd2y??B?2cos?t ay?2dt1-2
所以加速度矢量为 a???2?Asin?ti?Bcos?tj????2r 可得加速度矢量恒指向原点——椭圆中心．
1-5 质点的运动学方程为r?2ti?2?t2j （SI），试求：（1）质点的轨道方程；（2） t?2s时质点的速度和加速度．
??[解] （1） 由质点的运动方程，可得
x?2t y?2?t2
消去参数t，可得轨道方程
1y?2?x2
4 （2） 由速度、加速度定义式，有
v?dr/dt?2i?2tj
a?d2r/dt2??2j
将t?2s 代入上两式，得
v?2i?4j a??2j
1-6 已知质点的运动学方程为x?rcos?t，y?rsin?t，z?ct，其中r、?、c均为常量．试求：（1）质点作什么运动?（2）其速度和加速度? （3）运动学方程的矢量式．
[解] （1） 质点的运动方程 x?rcos?t （1）
y?rsin?t （2）
z?ct （3）
由（1）、（2）消去参数t得 x2?y2?r2
此方程表示以原点为圆心以r为半径的圆，即质点的轨迹在xoy平面上的投影为圆． 由式（2）可以看出，质点以速率c沿z轴匀速运动．
综上可知，质点绕z轴作螺旋线运动． （2） 由式（1）、（2）、（3）两边对时间t求导数可得质点的速度
vx?dx??r?sin?t dtvy?dy?r?cos?t dtdzvz??c
dt所以 v?vxi?vyj?vzk??r?sin?ti?r?cos?tj?ck 由式（1）、（2）、（3）两边对时间求二阶导数，可得质点的加速度
d2xax?2??r?2cos?t
dt
1-3
d2yay?2??r?2sin?t
dtaz?0
所以 a?axi?ayj?azk??r?2cos?ti?r?2sin?tj （3） 由式（1）、（2）、（3）得运动方程的矢量式
r?xi?yj?zk?rcos?ti?rsin?tj?ctk
1-7 湖中一小船，岸边的人用跨过高处的定滑轮的绳子拉船靠岸（如图所示）．当收绳速度为v0时，试问：（1）船的运动速度u比v大还是小?（2）若v?常量．船能否作匀速运动?如果不能，其加速度为何值? [解] （1） 由图知
L2?s2?h2
两边对t求导数，并注意到h为常数，得
2L又 v??dLds ?2sdtdtdLds ,u??dtdtuL??1 vs所以 Lv?su （1） 即
因此船的速率u大于收绳速率v．
（2） 将（1）式两边对t求导，并考虑到v是常量 vdLdsdu ?u?sdtdtdt所以 u2?v2?sa
?u2?v2?h2v2
?3 即 a?ss
1-8 质点沿x轴运动，已知v?8?2t2，当t?8s时，质点在原点左边52m处（向右
为x轴正向）．试求：（1）质点的加速度和运动学方程；（2）初速度和初位置；（3）分析质点的运动性质．
[解] （1） 质点的加速度 a?dv/dt?4t
又 v?dx/dt 所以 dx?vdt 对上式两边积分，并考虑到初始条件得
?x?52dx??t8vdt???8?2t?dt
t28所以 x?8t?t3?457.3
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