1、写出同胚映射的定义.?
设X和Y是两个拓扑空间.如果f:X?Y是一个一一映射，并且f和
f?1:Y?X 都是连续映射，则称f是一个同胚映射.
2、什么是不连通空间?
设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集A,B,使得A?B?X,则称X是一个不连通空间.
3、什么是正则空间？
设X是一个拓扑空间，如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正则空间. 4、写出紧致空间的定义.
设X是一个拓扑空间.如果X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间.
5、写出可分空间的定义
设X是一个拓扑空间，若X有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间。 6、写出列紧空间的定义.
设X是一个拓扑空间. 如果X的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X是一个列紧空间.
7、写出导集的定义.
设X是一个拓扑空间，集合A的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集. 8、写出Urysohn引理的内容.
设X 是一个拓扑空间，[a,b]是一个闭区间. 则X是一个正规空间当且仅当对于X中任意两个无交的闭集A和B，存在一个连续映射f:X?[a,b],使得当x?A时f(x)?a和当x?B时
f(x)?b.
得分 阅卷人
三 、判断下列各题的正误, 正确的打√，错误的打×，
并说明理由 （每题 5分，其中判断2分，理由3 分，本题共10分）
1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射 ………… （ ）
1、答案:√
理由：设X是离散空间，Y是拓扑空间，f:X?Y是连续映射，因为对任意A?Y，
1A)?X,由于X中的任何一个子集都是开集，都有f?（从而f?1(A)是?中的开集，所
以f:X?Y是连续的.
2、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，
则X是一个不连通空间 ……………………………… （ ）
25
2、答案:√
理由：这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集，令B?A?，则A,B都是X中的非空闭子集，它们满足A?B?X，易见A,B是隔离子集，所以拓扑空间X是一个不连通空间 得分 阅卷人 四、证明题（共40分).
1、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两 个无交的开集使得Y?A?B,则或者Y?A,或者Y?B. (7分) 、证明：因为A,B是X的开集，从而A?Y,B?Y是子空间Y的开集.
又因Y?A?B中，故Y?(A?Y)?(B?Y) ………………… 4分 由于Y是X的连通子集,则A?Y,B?Y中必有一个是空集. 若B?Y??,则Y?A;若
A?Y??,则Y?B
2、设X是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X不满足第一可数性公理.
(7分证明：若X满足
第一可数公理，则在x?X处,有一个可数的邻域基，
设为V x ,因为X是有限补空间，因此对?y?X,y?x,X?{y}是x 的一个开邻域，从而? Vy?V x ,使得Vy?X?{y}. …………4分 于是{y}?Vy, 由上面的讨论我们知道：
?X?{x}? 因为X?{x}是一个不可数集，而从而X不满足第一可数性公理.
y?X?{x}? {y}?? Vyy?X?{y}?
y?X?{x}? Vu?是一个可数集，矛盾.
3、设{xi}是T2空间X的一个收敛序列,证明：{xi}的极限点唯一. (7分)
证明：若极限点不唯一，不妨设limxi?y1,limxi?y2,其中y1?y2，由于X是T2空间，故y1和
i??i??y2各自的开邻域U,V，使得U?V??. …………………4分
xi?U；xi?V.因limxi?y1，故存在N1?0，使得当i?N1时，同理存在N2?0，使得当i?N2时，
i??26
令N?max{N1,N2},则当i?N时，xi?U?V，从而U?V??,矛盾，故{xi}的极限点唯一
4、设X是Hausdorff空间，f:X?X是连续映射.证明A?{x?X|f(x)?x}是X的闭子集.
(7分)
证明：对于?x?A?，则f(x)?x，从而f(x),x有互不相交的开邻域U和V，设
W?f?1(U)?V， …………………………………4分
则W是x的开邻域，并且x?W?A?,故A?是开集， 从而A是闭集
5、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个连续映射.如果X是一个紧致空间，证明f(X)是Y的一个紧致子集. (7分)
证明：设C是f(X)的一个由Y中的开集构成的覆盖.对于任意C?C，f?1(C)是X中的一个开集，由于
c?CC?X,从而有：
f?1(C)?f?1(C?CC?CC)?f?1(f(X))?X
所以A={f?1(C)|C?C}是X的开覆盖.由于X是紧致空间，所以A 有一个有限子覆盖，设为{f?1(C1),因为f?1(C1)?,f?1(Cn)}. …………………………………4分
?f?1(Cn)?f?1(C1??Cn)?X，从而C1??Cn?f(X)，,,C}n是即{C1C 的一个子族并且覆盖f(X)，因此f(X)是Y的一个紧致子集. 6、设X为Hausdorff空间 ,f:X?X是一个连续映射, 且f?f?f．
证明:f(X)是X的闭集． (5分).
6、证明：对?x?X?f(X)，则f(x)?x，由于X是Hausdorff空间，存在x和f(x)的邻域U1,V，使得U1?V??.又因为f连续,故存在x的邻域U2,使得f(U2)?V,令
U?U1?U2,则U是x的邻域,且
U?X?f(X). ………………………………………………3分
事实上,若存在z?U使得z?f(X),即? y?X使得z?f(y).于是
f(z)?ff(?y)f(?,y)而f(z)?f(U)?V,
27
这样,z?U?V?U1?V??,矛盾.所以U?X?f(X),即f(X) 是闭集.
28