从而A有有限子覆盖{A1,?,An}，因此Y是X的一个紧致子集. ………………8分
29、设X是一个正则空间，A是X的一个紧致子集.证明：A也是X的一个紧致子集.
证明：设A是任意一个由X中的开集构成的A的覆盖，因此A也是A的一个覆盖，由于A是X的紧致子集，从而A有有限个成员A1,?,An使得?Ai?A. …………………………………4分
i?1n由于A是正则空间的紧致子集，从而A有一个开邻域U，使得UA有有限子覆盖{A1,?,??Ai,从而有?Ai?A,从而
i?1i?1nnAn}，因此A是X的一个紧致子集. ………………………………8分
A?A30、设X是一个Hausdorff空间，A 是它的一个非空集族，由X的紧致子集构成，证明：的一个紧致子集.
证明：对于任意A?A，易知A是一个闭集，从而集. ………………………………………………………4分 取A0?A，则有
A?AA?AA是XA是X的一个闭
由于A0是紧致的，从而是A0的一个紧致子集，易知A?A0，
A?AA也是X的一个紧致子集. ………8分
31、设f:X?Y是连续的一一对应，其中X是紧致空间，Y是一个Hausdorff空间，证明f:X?Y是一个同胚映射.
证明：要证明f:X?Y是一个同胚映射， 只需证明f?1:Y?X连续，进而只需证明f是闭映射.
设A是X的闭集，由X是紧致空间，从而A是X的一个紧致子集，故f(A)是Y的一个紧致子集，……4分
由于Y是一个Hausdorff空间，因此f(A)是Y的一个闭集，从而f是闭映射. …………………………………………………………8分
32、Y是拓扑空间X的子空间，A是Y的紧致子集，证明A是X的紧致子集.
证明：对于A的由X的开集构成的任一开覆盖A ，即A?B?AB,这样，就有A =A?Y ?B?A(B?Y),
若令A?{B?Y|B?A} , A就是由Y的开集构成的A的一个开覆盖，……………………………3分 由于
~A是Y的紧致子集，必有有限的子覆盖B1?Y,B2?Y,......Bn?Y,即
iA?i?1,2,...n?(B?Y)=(i?1,2,...,n?B)?Y,从而A??B,于是{B,B,...,Bii12n}就是A的由X的开集构成的开
i?1,2,...,n覆盖，且是A的一个子覆盖，故A为X的紧致子集. ………………………………………………………8分
21
33、Y是拓扑空间X的子空间，若A是X的紧致子集，证明A是Y的紧致子集.
证明：对A的任意由Y的开集构成的开覆盖B，即A?存在X的开集AB，使得B?AB?Y，
于是{AB|B?B,B?AB?Y}就是A的由X的开集构成的开覆盖，…3分 从而必有有限的子覆盖{AB1,AB2,......ABm}，即 A?Bij?1,2,...,mB?B?B,由于Y是X的子空间，对每一个B?B,必
?A，当然有
A?A?Y?(Bjj?1,2,...,m?A)?Y=
j?1,2,...,m?(ABj?Y)?j?1,2,...,m?Bj，
即 { B1,B2,...,Bm}为A的由Y的开集构成的有限开覆盖，
且为B的子覆盖。故A为Y的紧致子集. ………………………8分 34、设X是一个Hausdorff空间.如果A是X的一个不包含点x?X的紧致子集，则点x和紧致子集A分别有开邻域U,V使得U?V??.
证明：设A是X的一个紧致子集，x?A?.对于每一个y?A,由于X是一个Hausdorff空间，故存在
x的一个开邻域
Uy和
y的一个开邻域
Vy使得
Uy?Vy??. ………………………………………………4分
集族{ Vy|y?A }显然是由X中的开集构成的A的一个覆盖，它有一个有限子覆盖，设为
nn{ Vy1,Vy2,,Vyn}，令U?i?1Uyi和V?i?1Vy,它们分别是点x和A的开邻域，且易知
iU?V??. ……………8分
35、证明Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭子集.
证明：设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集，设对于任意x?A，有x和A的开邻域U和V使
得U?V??， …………………4分
从而U?(A?{x}??)，故x?d(A)，所以d(A)?A，即
A是一个闭
集．………………………………………………………………8分 36、证明每一个紧致的Hausdorff空间都是正则空间．
证明：设A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集，x是X中不属于集合A的任意一点，由于紧致空间中的闭子集是紧致的，所以A是X的一个紧致子集，…………………………………………4分
从而点x和A分别有开邻域U和V使得U?V??，这说明X是一个正则空间．………………………………………………………8分
37、设X是一个Hausdorff空间．如果A,B是X的两个无交的紧致子集，则它们分别有开邻域U和V使
22
得U?V??．
证明：设A,B是X的两个无交的紧致子集，对于?x?A，点x和B分别有开邻域Ux,Vx使得
Ux?Vx??，……………………………4分
显然集族{ Ux|x?A }是紧致子集A的一个覆盖，它由X中的开集构成，由A是一个紧致子集，所
nn以它有一个有限子覆盖，设为{Ux,,Ux}，令U?Ux,V?Vx，易知U?V??． ……8
分
1ni?1ii?1i23
得分 阅卷人 一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，
共18分)
1、已知X?{a,b,c,d,e},下列集族中， 是X上的拓扑.…… （ ）
① T?{X,?,{a},{a,b},{a,c,e}} ② T?{X,?,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}} ③ T?{X,?,{a},{a,b}}
④ T?{X,?,{a},{b},{c},{d},{e}}
2、已知X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{a}},则{a}是 ……………… （ ①φ ② X ③ {a} ④ {b} 3、在实数空间R中给定如下等价关系:
x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[1],[2],[3]},则Y的商拓扑是 （ ① {?,Y,{[3]},{[2],[3]}} ② {?,Y,{[3]}} ③ {?,Y,{[3]},{[1],[2]}} ④ {?,Y}
4、下列拓扑学的性质具有可遗传性的是 ……………………… （ ①连通性 ② T2 ③ 正则 ④正规
5、设X?{1,2}，T?{X,?,{2}}，则(X,T)是 ………………（ ）① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ T3
6、下列拓扑学的性质具有有限可积性的是 …………………… （ ）① 连通性 ② 紧致性 ③ 正则性 ④ 可分性
1、③ 2、② 3、① 4、②③ 5、① 6、①②③④ 得分 阅卷人 二、简答题（每题4分，共32分）
）
）
24
）