使得：x?Bx?Ux,
更有Bx?A={x}, ……………………………………………………4分
若令C={Bx| x?A, Bx? B, Bx?Ux},则有C ? B ，从而C必可数.于是 A =
?{x}=
x?A(Bx?A).这样A就是可数集，这与题设A为不可数集相矛盾，故A至少有一个凝聚
Bx?C点. …………………8分
13、证明满足第二可数性公理的空间中每一个由两两无交的开集构成的集族都是可数族.
证明：设A是满足第二可数性公理的空间X中由两两无交的开集构成的集族, 由于X满足第二可数性公理，
设B是X的可数基 ………………………………………………3分
对A的每一个元素A ,因为B是X的基,存在B?B使得B?A.因为A中的元素两两无交,从而A中不同元素包含B中的元素也不相同.因为B可数, 故A是可数族. ………………………………8分 14、设X是一个T1空间,A?X,x?d(A),证明：x的每一个邻域U中都含有A中的无限多个点.
证明：设x?d(A)，若x有一个开邻域U含有A中的有限多个点，设B?U?A?{x},则B是一个有限集，从而B是一个闭集，故U?B是一个开集且是x的一个开邻域. …………………………………4分
又易知(U?B)?(A?{x}??),从而x?d(A)，矛盾.故U含有A中的无限多个点. ………………………………………………………8分
15、设X是一个T1空间,A?X,x?d(A),证明：对x的每一个邻域U有U?A是无限集.
证明：设x?d(A)，若x有一个开邻域U含有A中的有限多个点，设B?U?A?{x},则B是一个有限集，从而B是一个闭集，故U?B是一个开集且是x的一个开邻域. …………………………………4分
又易知(U?B)?(A?{x,从而x?d(A)，矛盾.故U?A是无限?}?集. …………………………………………………………………8分 16、设{xi}是T2空间X的一个收敛序列,证明：{xi}的极限点唯一.
证明：若极限点不唯一，不妨设limxi?y1,limxi?y2,其中y1?y2，由于X是T2空间，故y1和y2i??i??各自的开邻域U,V，使得U?V??.因limxi?y1，故存在N1?0，使得当i?N1时，xi?U；同
i??理存在N2?0，使得当i?N2时，xi?V.…………………………………………4分
令N?max{N1,N2},则当i?N时，xi?U?V，从而U?V??,矛盾，故{xi}的极限点唯一. ……………………………………………8分
17、设X是一个拓扑空间，证明X是hausdorff空间当且仅当积空间X?X的对角线
17
??{(x,x)?X?X|x?X}是一个闭集.
证明：充分性：对任意x,y?X,x?y，于是(x,y)???,由于?是闭集，所以??是开集，从而有X的开邻域U,V使得(x,y)?U?V???，于是U,V分别是x,y的开邻域,且U?V??，从而X是Hausdorff空间. ……………………………………………………………4分
必要性：若X是hausdorff空间，对?(x,y)???，则x和y分别有开邻域U,V，使得U?V??，从而(x,y)?U?V???，由于U?V是X?X中的开集，所以??是其每一点的邻域，故??是开集，从而?是闭集. ……………………………………………………………8分
18、设X是Hausdorff空间，f:X?X是连续映射.证明A?{x?X|f(x)?x}是X的闭子集.
证明：对于?x?A?，则f(x)?x，从而f(x),x有互不相交的开邻域U和V，设
W?f?1(U)?V，…………………………………4分
则W是x的开邻域，并且x?W?A?,故A?是开集，
从而A是闭集. …………………………………………………8分
19、设X是一个正则空间，A是X的闭子集,x?A，证明：x和A分别有开邻域U和V使得U证明：由于X是一个正则空间，从而x和A分别有开邻域W和V使得W因此V?V??.
?V??，故V?W?，
?W?. ………………4分
x的开邻域
又由正则空间的性质知：存在U使得
U?W,从而
U?V??. ……………………………………………………8分
20、设X是一个正规空间，A ，B是X的两个无交的闭子集.证明：A和B分别有开邻域U和V使得
U?V??.
证明：由于X是一个正规空间，从而A和B分别有开邻域W和V使得W因此V?V??，故V?W?，
?W?.………………4分
A的开邻域
由正规空间的性质知：存在U使得
U?W,从而
U?V??. ……………………………………………………8分
21、设X是一个拓扑空间，[0,1]是闭区间，若对X的任何两个无交的闭集A,B都存在一个连续映射
f:X?[0,1],使得当x?A时，f(x)?0,当x?B时，f(x)?1.证明：X是一个正规空间.
证明：设A,B是X的任意两个无交的闭集，由题意知存在一个连续映射f:X?[0,1],使得当x?A18
时，f(x)?0,当x?B时，f(x)?1. 设U?f?1([0,0.5)),V?f?1((0.5,1]),……………………………4分
X是一个正规空
易知U,V分别是A和B的开邻域且U?V??.从而间. ………………………………………………………………8分
22、证明T4空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集.
证明：设C是T4空间X中的一个连通子集，如果C不只包含一个点，任意选取x,y?C,x?y.对于T4空间X中的两个无交的闭集{x},{y}，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射
f:X?[0,1]，使得f(x)?0和f(y)?1.………………………………………4分
由于C是X的一个连通子集，从而f(C)连通，由于0,1?f(C)， 所以f(C)?[0，,由于[0,1]是一个不可数集，所以C也是一个不可数
集. ……………………………………………………………8分
23、X是T4空间，B为X的一个拓扑基，则对于每一个B?B及x?B,都有一个B1?B使得x?B1?B.
证明：X是T4空间，必为T1的正规空间，对任意x?X,{x}为闭集.
对于B?B且x?B,B就是{x}的一个开邻域.由于X为正规空间，必存在{x}的一个开邻域U,使得
U?B.……………………4分
U也是x的开邻域，一定存在一个B1?B ，使得 x?B1?U,且有B1?U，当然就有x?B1?B.………………………………8分
24、设X为Hausdorff空间 ,f:X?X是一个连续映射, 且
f?f?f．证明:
f(X)是X的闭集．
证明：对?x?X?f(X)，则f(x)?x，由于X是Hausdorff空间，存在x和f(x)的邻域U1,V，使得U1?V??.又因为f连续,故存在x的邻域U2,使得f(U2)?V,令U?U1?U2,则U是
x的邻域,且U?X?f(X).………………………………………………4分
事实上,若存在z?U使得z?f(X),即? y?X使得z?f(y).于是f(z)?f而f(z)?f(U)?V,
这样,z?U?V?U1?V??,矛盾.所以U?X?f(X),即f(X) 是闭集. …………………………………………………………8分
19
f(y)?f(y)?z,
25、设X是T1空间，A是X的至少含有两点的连通子集，则A一定是无 限集．
证明：若A为有限集，设a,b?A且a?b,由于X为T1空间，于是{a}与A-{a}就是X的闭集.且{a}?（A-{a}）=ф及A-{a}?ф,…4分
从而，A={a}?(A-{a}) ,故A不是X的连通子集.这与题设相矛盾，所以A必为无限集. ………………………………………………8分
26、如果拓扑空间的每一个紧致子集都是闭集，则X的每个收敛序列{xi} 的极限点唯一.
证明：因为单点集总是紧致子集，从而拓扑空间X的每一个单点集是闭集，故X是T1空间，若{xi}的极限点不唯一，不妨设收敛到a,b,a?b.易知X?{b}是包含a的开邻域,因此它包含序列{xi}的几乎所有项，也就是说{xi}只有有限项为b …………………………………4分
设A?{xn|xn?b}?{a},则A是紧致子集，从而是闭集.故A?是b的一个开邻域，它最多只能含{xi}的有限多项，从而b不是{xi}的极限点，矛盾.从而X的每个收敛序列{xi}的极限点唯一. ……………8分
27、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个连续映射.如果A是X的一个紧致子集，证明f(A)是Y的一个紧致子集.
证明：设C是f(A)的一个由Y中的开集构成的覆盖.对于任意C?C，f由于
?1(C)是X中的一个开集，
c?CC?f(A),从而有：
f?1(C)?f?1(C?CC?CC)?f?1(f(A))?A
所以A={f?1(C)|C?C}是一个由X中的开集构成的A的覆盖.由于A是X的一个紧致子集，所以A
?1有一个有限子族，设为{f?1因为f(C1)?(C1),,f?1(Cn)}覆盖A. …………………………………4分
?f?1(Cn)?f?1(C1??Cn)?A，从而C1??Cn?f(A)，Cn是即{C,1,}C 的一个子族并且覆盖f(A)，因此f(A)是Y的一个紧致子集. ………………………………8分 28、设X是一个正则空间，A是X的一个紧致子集，Y?X.证明：如果A?Y?A,则Y也是X的一个紧致子集.
证明：设A是任意一个由X中的开集构成的Y的覆盖，因此A也是A的一个覆盖，由于A是X的紧致子集，从而A有有限个成员A1,?,An使得?Ai?A. …………………………………4分
i?1n由于A是正则空间的紧致子集，从而A有一个开邻域U，使得U??Ai,从而有?Ai?A?Y,
i?1i?120
nn