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一、单项选择题（每题1分）
1、已知X?{a,b,c,d,e},下列集族中，（ ）是X上的拓扑.
① T?{X,?,{a},{a,b},{a,c,e}} ② T?{X,?,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}} ③ T?{X,?,{a},{a,b}} ④ T?{X,?,{a},{b},{c},{d},{e}} 答案：③ 2、设X?{a,b,c}，下列集族中,（ ）是X上的拓扑.
① T?{X,?,{a},{a,b},{c}} ② T?{X,?,{a},{a,b},{a,c}} ③ T?{X,?,{a},{b},{a,c}} ④ T?{X,?,{a},{b},{c}} 答案：② 3、已知X?{a,b,c,d},下列集族中，（ ）是X上的拓扑.
① T?{X,?,{a},{a,b},{a,c,d}} ② T?{X,?,{a,b,c},{a,b,d}} ③ T?{X,?,{a},{b},{a,c,d}} ④ T?{X,?,{a},{b}} 答案：① 4、设X?{a,b,c}，下列集族中,（ ）是X上的拓扑.
① T?{X,?,{b},{c},{a,b}} ② T?{X,?,{a},{b},{a,b},{a,c}} ③ T?{X,?,{a},{b},{a,c}} ④ T?{X,?,{a},{b},{c}} 答案：② 5、已知X?{a,b,c,d},下列集族中，（ ）是X上的拓扑.
① T?{X,?,{a,b},{a,c,d}} ② T?{X,?,{a,b},{a,c,d}}
③ T?{X,?,{a},{b},{a,c,d}} ④ T?{X,?,{a},{c},{a,c}} 答案：④ 6、设X?{a,b,c}，下列集族中,（ ）是X上的拓扑.
① T?{X,?,{a},{b},{b,c}} ② T?{X,?,{a,b},{b,c}}
③ T?{X,?,{a},{a,c}} ④ T?{X,?,{a},{b},{c}} 答案：③ 7、已知X?{a,b,c,d}，拓扑T?{X,?,{a}},则{b}=（ ）
①φ ② X ③ {b} ④ {b,c,d} 答案：④ 8、 已知X?{a,b,c,d}，拓扑T?{X,?,{a}},则{b,c,d}=（ ）
①φ ② X ③ {b} ④ {b,c,d} 答案：④ 9、 已知X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{a}},则{a}=（ ）
①φ ② X ③ {a} ④ {b} 答案：② 10、已知X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{a}},则{b}=（ ）
①φ ② X ③ {a} ④ {b} 答案：④ 11、已知X?{a,b,c,d}，拓扑T?{X,?,{a}},则{a}=（ ）
①φ ② X ③ {a,b} ④ {b,c,d} 答案：② 12、已知X?{a,b,c,d}，拓扑T?{X,?,{a}},则{c}=（ ）
①φ ② X ③ {a,c} ④ {b,c,d} 答案：④
13、设X?{abcd,,,}，拓扑T?{X,?,{a},{b,c,d}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为（① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
14、设X?{a,b,c}，拓扑T?{X,?,{a},{b,c}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为（ ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
）
1
）15、设X?{a,b,c}，拓扑T?{X,?,{b},{b,c}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：①
16、设X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{b}},则X的既开又闭的子集的个数为（ ）
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③
17、设X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{a},{b}},则X的既开又闭的子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④
18、设X?{a,b,c}，拓扑T?{X,?,{a},{,则X的既开又闭的非空真子集的个数为b},{a,b},{bc,}}（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：② 19、在实数空间中，有理数集Q的内部Q 是（ ）
① ? ② Q ③ R -Q ④ R 答案：① 20、在实数空间中，有理数集Q的边界?(Q)是（ ）
① ? ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④ 21、在实数空间中，整数集Z的内部Z 是（ ）
① ? ② Z ③ R-Z ④ R 答案：① 22、在实数空间中，整数集Z的边界?(Z)是（ ）
① ? ② Z ③ R-Z ④ R 答案：② 23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）
① ? ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：③ 24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）
① ? ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案：③ 25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）
① ? ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④ 26、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中错误的是（ ） ① d(A?B)?d(A)?d(B) ② A?B?A?B ③ d(A?B)?d(A)?d(B) ④ A?A 答案: ③
27、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中正确的是（ ） ① d(A?B)?d(A)?d(B) ② A?B?A?B ③ d(A?B)?d(A)?d(B) ④ A?A 答案: ①
28、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中正确的是（ ） ① d(A?B)?A?B ② A?B?A?B
③ d(A?B)?d(A)?d(B) ④ d(d(A))?A?d(A) 答案: ④ 29、已知X是一个离散拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是（ ）
① d(A)?? ② d(A)?X?A ③ d(A)?A ④ d(A)?X 答案：①30、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中不正确的是（ ）
① 若A??,则d(A)?? ② 若A?{x0},则d(A)?X?A ③ 若A={x1,x2},则d(A)?X ④ 若A?X, 则d(A)?X 答案：④
2
31、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是（ ）
① 若A??,则d(A)?? ② 若A?{x0},则d(A)?X
③ 若A={x1,x2},则d(A)?X?A ④ 若A?{x1,x2},则d(A)?A 答案：① 32、设X?{a,b,c,d}，令B?{{a,b,c},{c},{d}},则由B产生的X上的拓扑是（ ）
① { X,?,{c},{d},{c,d},{a,b,c}} ② {X,?,{c},{d},{c,d}}
③ { X,?,{c},{a,b,c}} ④ { X,?,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}} 答案：①
33、设X是至少含有两个元素的集合，p?X,T?{G?X|p?G}?{?} 是X的拓扑，则（ ）是
T的基.
① B?{{p,x}|x?X?{p}} ② B?{{x}|x?X}
③ B?{{p,x}|x?X} ④ B?{{x}|x?X?{p}} 答案：③ 34、 设X?{a,b,c},则下列X的拓扑中（ ）以S?{X,?,{a}}为子基.
① { X, ?,{a},{a,c}} ② {X, ?,{a}}
③ { X, ?,{a},{b},{a,b}} ④ {X,? } 答案：② 35、离散空间的任一子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③ 36、平庸空间的任一非空真子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④ 37、实数空间R中的任一单点集是 ( )
① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案：② 38、实数空间R的子集A ={1,
1①φ ② R ③ A2,1∪{0} 3 ,14,……},则A＝（ ） ④ A 答案：③ 39、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（ ）
① 整数集 ② ?a,b? ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案：① 40、在实数空间R中，下列集合是开集的是（ ）
① 整数集Z ② 有理数集 ③ 无理数集 ④ 整数集Z的补集Z? 41、已知X?{1,2,3}上的拓扑T?{X,?,{1}},则点1的邻域个数是（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④ 42、已知X?{a,b},则X上的所有可能的拓扑有（ ）
① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④ 43、已知X={a,b,c},则X上的含有４个元素的拓扑有（ ）个
① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④ 44、设(X,T)为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( ) ①X?T , ??T ② X?T ,??T ③当T??T时,
U?T ④ 当T??T时,
U?T 答案：③
U?T?U?T?
答案：④ 3
45、在实数下限拓扑空间R中，区间[a,b)是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：③ 46、设X是一个拓扑空间，A,B?X,且满足d(A)?B?A,则B是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：②
47、设X?{1,2,3},T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{1,2},则X的子空间A的拓扑为
( )
① T?{?,{2},{1,2}} ② T?{?,X,{1},{2},{1,2}}
③ T?{?,A,{1},{2}} ④ T?{?,X,{1},{2}} 答案：③
48、设X?{1,2,3},T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{1,3},则X的子空间A的拓扑为
( )
① T?{?,{1},{3},{1,3}} ② T?{?,A,{1}}
③ T?{?,X,{1},{3},{1,3}} ④ T?{?,X,{1}} 答案：②
49、设X?{1,2,3},T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{2,3},则X的子空间A的拓扑为
( )
① T?{?,{3},{2,3}} ② T?{?,A,{2},{3}}
③ T?{?,X,{2},{3},{2,3}} ④ T?{?,X,{3}} 答案：②
50、设X?{1,2,3},T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{1},则X的子空间A的拓扑为( )
① T?{?,{1}} ② T?{?,A,{1,2}}③ T?{?,X,{1},{3},{1,3}} ④ T?{?,X,{1}} 答案：① 51、设X?{1,2,3},T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{2},则X的子空间A的拓扑为( )
① T?{?,{2},{1,2}} ② T?{?,A} ③ T?{?,X,{2}} ④ T?{?,X,{1,2}} 答案：② 52、设X?{1,2,3},T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{3},则X的子空间A的拓扑为( )
① T?{?,{2},{1,2}} ② T?{?,{X},{1,3}} ③ T?{?,X,{3}} ④ T?{?,{3}} 答案：④ 53、设R是实数空间，Z是整数集，则R的子空间Z的拓扑为（ ）
① T?{?,Z} ② T?P(Z) ③ T?Z ④ T?{Z} 答案：② 54、设X?X1?X2??X6是拓扑空间X1,X2,是拓扑空间X1,X2,是拓扑空间X1,X2,是拓扑空间X1,X2,,X6的积空间.P1是X到X1的投射，则P1是（ ） ,X6的积空间.P2是X到X2的投射，则P2是（ ） ,X6的积空间.P3是X到X3的投射，则P3是（ ） ,X6的积空间.P4是X到X4的投射，则P4是（ ）
4
① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 55、设X?X1?X2??X56、设X?X1?X2??X57、设X?X1?X2??X6① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
6① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
6① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
58、设X?X1?X2??X59、设X?X1?X2??X6是拓扑空间X1,X2,是拓扑空间X1,X2,,X6的积空间.P5是X到X5的投射，则P5是（ ） ,X6的积空间.P6是X到X6的投射，则P6是（ ）
① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
6① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 60、设X1和X2是两个拓扑空间，X1?X2是它们的积空间,A?X1，B?X2，则有（ ）
①A?B?A?B ②A?B?A?B ③(A?B)?A?B ④?(A?B)??(A)??(B) 答案：② 61、有理数集Q是实数空间R的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案：① 62、整数集Z是实数空间R的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案：① 63、无理数集是实数空间R的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案：① 64、设Y为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,若Y?Z?Y, 则Z为( )
①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集 答案：② 65、设X1,X2是平庸空间，则积空间X1?X2是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是平庸空间 ③ 平庸空间 ④ 不连通空间 答案：③ 66、设X1,X2是离散空间，则积空间X1?X2是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是离散空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案：① 67、设X1,X2是连通空间，则积空间X1?X2是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是连通空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案：④ 68、实数空间R中的连通子集E为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对 答案：④ 69、实数空间R中的不少于两点的连通子集E为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对 答案：③ 70、实数空间R中的连通子集E为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点 答案：④ 71、下列叙述中正确的个数为（ ）
（Ⅰ）单位圆周S1是连通的； （Ⅱ）R?{0}是连通的
（Ⅲ）R2?{(0,0)}是连通的 （Ⅳ）R2和R同胚
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：② 72、实数空间R( )
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③ 73、整数集Z作为实数空间R的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③
5
74、有理数集Q作为实数空间R的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③ 75、无理数集作为实数空间R的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③ 76、正整数集Z?作为实数空间R的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③ 77、负整数集Z?作为实数空间R的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③ 78、2维欧氏间空间R2
（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③ 79、3维欧氏间空间R3（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③ 80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
① 平庸性 ② 连通性 ③ 离散性 ④ 第一可数性公理 答案：② 81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
① 第一可数性公理 ② 连通性 ③ 第二可数性公理 ④ 平庸性 答案：② 82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
① 第一可数性公 ② 可分性 ③ 第二可数性公理 ④ 离散性 答案：②83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
① 平庸性 ② 可分性 ③ 离散性 ④ 第二可数性公理 答案：② 84、设X是一个拓扑空间，若对于?x,y?X,x?y,均有{x}?{y},则X是( ) ① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 答案：① 85、设X?{1,2}，T?{X,?,{1}}，则(X,T)是( )
① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 答案：① 86、设X?{1,2}，T?{X,?,{2}}，则(X,T)是( )
① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 道路连通空间 答案：① 87、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{1}}，则(X,T)是( )
① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 答案：④
88、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{2，3}}，则(X,T)是( ) ① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 答案：④
6
89、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{1，3}}，则(X,T)是( )
① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 答案：④ 90、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{1，2}}，则(X,T)是( )
① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 答案：④ 91、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{1},{2},{1,2}}，则(X,T)是( )
①T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 答案：① 92、设X是一个拓扑空间，若X的每一个单点集都是闭集，
则X是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ T1空间 ④ T4空间 答案：③ 93、设X是一个拓扑空间，若X的每一个有限子集都是闭集，
则X是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ T1空间 ④ T4空间 答案：③
94、设X是一个拓扑空间，若对?x?X及x的每一个开邻域U，都存在x的一个开邻域V,使得V?U,则X是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ T1空间 ④ T4空间 答案：①
95、设X是一个拓扑空间，若对X的任何一个闭集A及A的每一个开邻域U，都存在A的一个开邻域V,
使得V?U,则X是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ T1空间 ④ T4空间 答案：② 96、设X?{1,2，3}，T?{X,?,{1},{2，3}}，则(X,T)是( )
①T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 正规空间 答案：④
3}，T?{X,?,{2},{13}}，，则(X,T)是( ) 97、设X?{1,2，①T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 正规空间 答案：④ 98、设X?{1,2，3}，T?{X,?,{3},{1，2}}，则(X,T)是( )
①T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 正则空间 答案：④ 99、设X?{1,2，3}，T?{X,?,{1},{2},{1,2}}，则(X,T)是( )
①T2空间 ② 正则空间 ③ T4空间 ④ 正规空间 答案：④
3}，T?{X,?,{1},{3},{1,3}}，则(X,T)是( ) 100、设X?{1,2，①T2空间 ② 正则空间 ③ T4空间 ④ 正规空间 答案：④
3}，T?{X,?,{2},{3},{2,3}}，则(X,T)是( ) 101、设X?{1,2，①T2空间 ② 正则空间 ③ T4空间 ④ 正规空间 答案：④
102、若拓扑空间X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个（ ）
① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间 答案：③ 103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ）
① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对 答案：③ 104、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是（ ）
① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 答案：③
7
105、紧致的Hausdorff空间中的紧致子集是（ ）
① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 答案：③ 106、拓扑空间X的任何一个有限子集都是（ ）
① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集 答案：② 107、实数空间R的子集A?{1,2,3}是（ ）
① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集 答案：② 108、实数空间R的子集A?{1,2,3,4}是（ ）
① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集 答案：② 109、如果拓扑空间X的每个紧致子集都是闭集，则X是（ ）
① T1空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间 答案：① 二．判断（每题4分，判断1分，理由3分）
1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√
?1理由：设X是离散空间，因为对任意A?Y，都有f（A)?X,Y是拓扑空间，f:X?Y是连续映射，
由于X中的任何一个子集都是开集，从而f?1(A)是?中的开集，所以f:X?Y是连续的.
2、设T 1,T 2是集合X的两个拓扑，则T 1?T 2不一定是集合X的拓扑( )答案:×
理由：因为（1）T 1,T 2是X的拓扑，故X,??T1，X,??T２，从而X,??T 1?T 2；
（２）对任意的A,B?T1?T２，则有A,B?T1且A,B?T２，由于T1, T2是X的拓扑，故A?B?T1且A?B?T2，从而A?B? T1?T２；
（３）对任意的T??T1?T2，则T??T1,T??T2，由于T1, T2是X的拓扑，从而?U?T’U?T1,
?U?T’U?T2,故?U?T’U? T1?T２；综上有T1?T２也是X的拓扑．
3、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（ ）答案:√
理由：设f:X?Y是任一满足条件的映射，由于Y是平庸空间，它中的开集只有Y,?,易知它们在f下的原象分别是X,?,均为X中的开集，从而f:X?Y连续. 4、设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d?A??? （ ）答案:√
理由：设p为X中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以{p}是X的开子集，且有?p??A??p????，即p?d?A?,从而 d(A)??.
5、设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则d?A??? （ ）答案：×
理由：设A?{y},则对于任意x?X,x?y,x有唯一的一个邻域X，且有y?X?(A?x),从而
X?(A?x)??，因此x是A的一个凝聚点，但对于y的唯一的邻域X，有X?(A?y)??,所以有
d?A??X?A??.
6、设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d?A??X （ ）答案：√
理由：对于任意x?X,因为A包含多于一点，从而对于x的唯一的邻域X，且有X?(A?x)??，因此x是A的一个凝聚点，即x?d(A)，所以有d?A??X.
7、设X是一个不连通空间，则X中存在两个非空的闭子集A,B,使得A?B??,A?B?X（ ）答案：√ 理由：设X是一个不连通空间，设A,B是X的两个非空的隔离子集使得A?B?X,显然
AB??，并且这时有:B?B?X?(B?A)?(B?B)?B 从而B是X的一个闭子集，同理可证
8
A是X的一个闭子集，这就证明了A,B满足A?B??,A?B?X.
8、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个不连通空间( )案：√
理由：这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集，令B?A?，则A,B都是X中的非空闭子集，它们满足A?B?X，易见A,B是隔离子集，所以拓扑空间X是一个不连通空. 9、设拓扑空间X满足第二可数性公理，则X满足第一可数性公理（ ）答案：√
理由:设拓扑空间X满足第二可数性公理，B是它的一个可数基，对于每一个x?X,易知
B x?{B?B|x?B}是点x处的一个邻域基，它是B的一个子族所以是可数族，从而X在点x处有
可数邻域基，故X满 足第一可数性公理.
10、若拓扑空间X满足第二可数性公理，则X的子空间Y也满足第二可数性公理（ ）答案：√
理由：由于X满足第二可数性公理，所以它有一个可数基B，因为Y是X的子空间，则
B| Y?{B?Y|B?B}是Y的一个可数基，从而X的 子空间Y也满足第二可数性公理.
11、若拓扑空间X满足第一可数性公理，则X的子空间Y也满足第一可数性公理（ ）答案：√
理由：由于X满足第一可数性公理，所以对?x?Y,X在点x处有一个可数邻域基V x，因为Y是X的子空间，则V |x Y?{V?Y|V?V x}是Y在点x的一个可数邻域基，从而X的子空间Y也满足第一可数性公理.
12、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{2},{3},{2,3}}，则(X,T)是T3空间.( )答案：×
理由：因为{1,3}是X的一个闭集，对于点２和{1,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X不是正则空间，从而不是T3空间. 注：也可以说明X不是T1空间．
13、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{1},{2},{1,2}}，则(X,T)是T3空间.( )答案：×
理由：因为{2,3}是X的一个闭集，对于点１和{2,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X不是正则空间，从而不是T3空间.注：也可以说明X不是T1空间．
14、设X?{1,2，3}，T?{X,?,{1},{3},{1,3}}，则(X,T)是T1空间.( )答案：×
理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X不是T1 空间． 注：也可以考虑点２和点３.
15、设X?{1,2，3}，T?{X,?,{1},{3},{1,3}}，则(X,T)是T4空间.( )答案：×
理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X不是T1 空间．故(X,T)是T4空间. 注：也可以考虑点２和点３.
16、T3空间一定是T2空间.（ ）答案：√
理由：因为T3空间是正则的T1空间，所以对于T3空间X中的任意不同的两点x,y?X，{y}是X中的闭集，由于X是正则空间，从而对于x,{y}它们有各自的开邻域U,V使得U?V??，所以X是
T2空间.
17、T4空间一定是T3空间.（ ）答案：√
理由：因为T4空间是正规的T1空间，所以对于T4空间X中的任意点x和不包含x的闭集A，由于{x}也是一个闭集及X是正规空间，故存在{x},A的开邻域U,V使得U?V??，这说明X是正则空间，因此X是T3空间.
18、设A,B是拓扑空间X的两个紧致子集，则A?B是一个紧致子集.( )答案：√
9
理由：设A 是一个由X中的开集构成的A?B的覆盖，由于A和B都是X的紧致子集，从而存在A
的有限子族 A 1 A 故A1 ?A2是A 的有限子族且覆盖A?B，所以A?B是2 分别是A和B的覆盖，紧致子集.
19、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )答案：√
理由：设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集，则对于任何x?X，若x?A，则易知x不是A的
凝聚点，因此A?A，从而A是一个闭集. 三．名词解释(每题2分)
1．同胚映射 答案：设X和Y是两个拓扑空间.如果f:X?Y是一个一一映射，并且f和
f?1:Y?X 都是连续映射，则称f是一个同胚映射或同胚.
2、集合A的内点 答案：设X是一个拓扑空间，A?X.如果A是点x?X的一个邻域，则称点x是集合A的一个内点.
3、集合A的内部 答案：设X是一个拓扑空间，A?X.则集合A的所有内点构成的集合称为集合
A的内部.
4．拓扑空间(X,T)的基 答案：设(X,T)是一个拓扑空间，B是T的一个子族.如果T中的每一个元素是B中的某些元素的并，则称B是拓扑T的一个基.
5．闭包 答案：设X是一个拓扑空间，A?X.集合A与集合A的导集d(A)的并A?d(A)称为集合A的闭包.
6、序列 答案：设X是一个拓扑空间，每一个映射S:Z??X叫做X中的一个序列. 7、导集 答案：设X是一个拓扑空间，集合A的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.
8、不连通空间 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集A,B,使得A?B?X,则称X是一个不连通空间.
9、连通子集 答案：设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y是
X的一个连通子集.
10、不连通子集 答案：设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个不连通空间，则称Y是X的一个不连通子集.
11、A 1空间 答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为A 1空间.
12、A 2空间 答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为A 2空间.
13、可分空间 答案：如果拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间.
14、T0空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是T0空间.
15、T1空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是T1空间.
16、T2空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间X是T2空间.
10
17、正则空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正则空间.
18、正规空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正规空间.
19、完全正则空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果对于?x?X和X中任何一个不包含点x的闭集B存在一个连续映射f:X?[0,1]使得f(x)?0以及对于任何y?B有f(y)?1，则称拓扑空间X是一个完全正则空间.
20、紧致空间 答案：设X是一个拓扑空间.如果X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间.
21、紧致子集 答案：设X是一个拓扑空间，Y是X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集.
22、可数紧致空间 答案：设X是一个拓扑空间. 如果X的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个可数紧致空间.
23、列紧空间 答案：设X是一个拓扑空间. 如果X的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X是一个列紧空间.
24、序列紧致空间 答案：设X是一个拓扑空间. 如果X中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X是一个序列紧致空间. 五．简答题（每题4分）
1、设X是一个拓扑空间，A,B是X的子集，且A?B.试说明d(A)?d(B).
答案：对于任意x?d(A),设U是x的任何一个邻域，则有U?(A?{x})??,由于A?B，从而
U?(B?{x})?U?(A?{x})??，因此x?d(B)，故d(A)?d(B).
2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f:X?Y, g:Y?Z都是连续映射，试说明g?1?1由f:X?Y是连续映射，故f(g(W))是X的一开集，因此 (gf:X?Z也是连续映射.
?1答案：设W是Z的任意一个开集，由于g:Y?Z是一个连续映射，从而g(W)是Y的一个开集，
f)?1(W)?f?1(g?1(W))是X的开集，所以gf:X?Z是连续映射.
3、设X是一个拓扑空间，A?X.试说明：若A是一个闭集，则A的补集A?是一个开集.
答案：对于?x?A?,则x?A，由于A是一个闭集，从而x有一个邻域U使得U?(A?{x})??,因此U?A??，即U?A?,所以对任何x?A?,A?是x的一个邻域，这说明A?是一个开集. 4、设X是一个拓扑空间，A?X.试说明：若A的补集A?是一个开集，则A是一个闭集.
答案：设x?A,则x?A?,由于A?是一个开集，所以A?是x的一个邻域，且满足A??A??,因此
x?A,从而A?A,即有A?A，这说明A是一个闭集.
5、在实数空间R中给定如下等价关系：
x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[0],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T. 答案：T ?{?,Y,{[0]},{[0],[1]}}
11
6、在实数空间R中给定如下等价关系:
x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[1],[2],[3]},试写出Y的商拓扑T .
答案：T ?{?,Y,{[3]},{[2],[3]}} 7、在实数空间R中给定如下等价关系：
x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[?1],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T. 答案：T ?{?,Y,{[?1]},{[?1],[1]}} 8、在实数空间R中给定如下等价关系：
x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[?2],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T. 答案：T ?{?,Y,{[?2]},{[?2],[1]}} 9、在实数空间R中给定如下等价关系:
x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[0],[2],[3]},试写出Y的商拓扑T .
答案：T ?{?,Y,{[3]},{[2],[3]}} 10、在实数空间R中给定如下等价关系:
x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[0],[2],[4]},试写出Y的商拓扑T .
答案：T ?{?,Y,{[4]},{[2],[4]}} 11、在实数空间R中给定如下等价关系:
x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[?1],[2],[4]},试写出Y的商拓扑T .
答案：T ?{?,Y,{[4]},{[2],[4]}} 12、离散空间是否为A2空间?说出你的理由.
答案：因为离散空间的每一个基必定包含着单点集，所以包含着不可数多个点的离散空间不是A2空间.至多含有可数多个点的离散空间是A2空间.
13、试说明实数空间R是可分空间.答案: 因为Q是可数集，且R的任何一个非空的开集至少包含一个球形邻域,从而与Q都有非空的交，因此Q?R，故实数空间R是可分空间. 14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.
答案: 设X是一个度量空间, 对?x?X，则所有的以x为中心，以正有理数为半径的球形邻域构成x处的一个可数邻域基，从而X满足第一可数性公理. 15、设X是一个T1空间，试说明X的每一个单点集是闭集.
答案：对?x?X，由于X是T1空间，从而对每一个y?X,y?x，点y有一个邻域U使得x?U，即U?{x}??，故y?{x}，因此{x}?{x},这说明单点集{x}是一个闭集. 16、设X是一个拓扑空间，若X的每一个单点集都是闭集，试说明X是一个T1空间.
答案：对于任意x,y?X,x?y，{x},{y}都是闭集，从而{x}?和{y}?分别是y和x的开邻域，并且
12
有x?{x}?,y?{y}?.从而X是一个T1空间.
*17、设(X,T)是一个T1空间，?是任何一个不属于X的元素.令X?X?{?}和T?T?{X}，试
**说明拓扑空间(X,T)是一个T0空间. 答案：对任意x,y?X,x?y,若x,y都不是?，则从而x,y各有一个开邻域U,V,使得x?V,y?U;若x,y中有一x,y?X.由于X 是一个T1空间，
个是?，不妨设x??,则y有开邻域X不包含?.由以上的讨论知，对X*中任意两个不同点必有一个点有一个开邻域不包含另一点，从而X是T0空间.
18、若X是一个正则空间，试说明：对?x?X及x的每一个开邻域U，都存在x的一个开邻域V,使得
***V?U. 答案: 对?x?X,设U是x的任何一个开邻域，则U的补集U?是一个不包含点x的
一个闭集.由于X是一个正则空间，于是x和U?分别有开邻域V和W,使得V?W??，因此
V?W?，所以V?W???W??U.
19、若X是一个正规空间，试说明：对X的任何一个闭集A及A的每一个开邻域U，都存在A的一个
开邻域V,使得V?U. 答案：设A是X的任何一个闭集，若A是空集，则结论显然成立.下设A不是空集，则对A的任何一个开邻域U，则U的补集U?是一个不包含点A的一个闭集. 由于
X是一个正规空间，于是A和U?分别有开邻域V和W,使得V?W??，因此V?W?，所以
V?W???W??U.
20、试说明T1空间X的任何一个子集的导集都是闭集.
答案：设A是X的任何一个子集，若A是空集，则d(A)??，从而A的导集是闭集.下设A不是空集，则对?x?(d(A))?,则x有开邻域U,使得(U?{x})?A??，由于X是T1空间，从而U?{x}是开集，故
U?{x}?(d(A))?,于是U?(d(A))?,所以(d(A))?是它每一点的邻域，故(d(A))?是开集，因此
d(A)是闭集.
21、试说明紧致空间X的无穷子集必有凝聚点.
答案：如果X的无穷子集的A没有凝聚点，则对于任意x?X，有开邻域Ux，使得
(Ux?A)?{x}??，于是X的开覆盖{Ux|x?X}没有有限子覆盖，从而X不是紧致空间，矛盾.
故紧致空间X的无穷子集必有凝聚点. 22、如果X?Y是紧致空间，则X是紧致空间.
答案：考虑投射P由于P从而由X?Y紧致知X是1:X?Y?X，1:X?Y?X是一个连续的满射，一个紧致空间.
23、如果X?Y是紧致空间，则Y是紧致空间.
答案：考虑投射P2:X?Y?Y，由于P2:X?Y?Y是一个连续的满射，从而由X?Y紧致知Y是一个紧致空间.
24、试说明紧致空间X的每一个闭子集Y都是紧致子集.
答案：如果A 是Y的任意一个由X中的开集构成的覆盖，则B=A?{Y?}是X的一个开覆盖.设B 1是B的一个有限子族并且覆盖X.则B 1?{Y?}便是A 的一个有限子族并且覆盖Y，从而Y是紧致子集.
六、证明题（每题8分）
13
1、设f:X?Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f(X)是Y的一个连通子集.
证明：如果f(X)是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A,B使得
f(X)?A?B …………………………………………… 3分
于是f?1(A),f?1(B)是X的非空子集，并且：
(f?1(A)?f?1(B))?(f?1(B)?f?1(A))?(f?1(A)?f?1(B))?(f?1(B)?f?1(A)) ?f?1((A?B)?(A?B))??所
以
f?1(A),f?1(B)是
X的非空隔离子集 此外，
f?1(A)?f?1(B)?f?1(A?B)?f?1(f(X))?X，这说明X不连通，矛盾.从而f(X)是Y的一个
连通子集. ………………………… 8分
2、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的开集使得Y则或者Y?A,或者Y?B.
证明：因为A,B是X的开集，从而A?Y,B?Y是子空间Y的开集. 又因Y?A?B中，故Y?(A?Y)?(B?Y) ………………… 4分
由于Y是X的连通子集,则A?Y,B?Y中必有一个是空集. 若B?Y??,则Y?A;若
?A?B,
A?Y??,则Y?B………………… 8分
3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的闭集使得Y则或者Y?A,或者Y?B.
证明：因为A,B是X的闭集，从而A?Y,B?Y是子空间Y的闭集. 又因Y?A?B中，故Y?(A?Y)?(B?Y) ………………… 4分
由于Y是X的连通子集,则A?Y,B?Y中必有一个是空集. 若B?Y??,则Y?A;若
?A?B,
A?Y??,则Y?B………………… 8分
4、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z?X满足Y?Z?Y，则Z也是X的一个连通子集.
证明：若Z是X的一个不连通子集，则在X中有非空的隔离子集A,B 使得Z?A?B.因此
Y?A?B ………………………………… 3分
由于Y是连通的，所以Y?A或者Y?B,如果Y?A，由于Z?Y?A，所以Z?B?A?B??，因此 B?Z?B??,同理可证如果Y?B，则A??,均与假设矛盾.故Z也 是X的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分
14
5、设{Y?}???是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族.如果通子集. 证明：若
Y??????,则
Y????是X的一个连
Y????是X的一个不连通子集.则X有非空的隔离子集A,B使得
Y?????A?B………………………………………… 4分
Y????,不失一般性，设x?A,对于每一个???，由于Y?连通，从而
任意选取x?Y?????A及
B??,矛盾，
所以
Y????是连通的. ………………………………………… 8分
6、设A是拓扑空间X的一个连通子集，B是X的一个既开又闭的集合.证明：如果A?B??,则A?B.
证明：若B?X,则结论显然成立.
下设B?X,由于B是X的一个既开又闭的集合,从而A?B是X的子空间A的一个既开又闭的子集………………………………… 4分
由于A?B??及A连通，所以A?B?A，故A?B.………… 8分 7、设A是连通空间X的非空真子集. 证明:A的边界?(A)??.
??证明：若?(A)??,由于?(A)?A?A?,从而
??A??A???(A??A??)?(A?A?)?(A??A?)?(A?A??),
故A ,A?是X的隔离子集 ………………………………………… 4分
因为A是X的非空真子集,所以A和A?均非空,于是X不连通,与题设矛盾.所以
?(A)??. ……………………………………………… 8分
8、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理.
证明：若X满足第一可数公理，则在x?X处,有一个可数的邻域基，设为V ,因为X是可数补空间，x
因此对?y?X,y?x,X?{y}是x的一个开邻域，从而? Vy?V x ,使得Vy?X?{y}.
于是{y}?Vy, …………………………………………………4分 由上面的讨论我们知道：
?X?{x}? 因为Xy?X?{x}? {y}?? Vyy?X?{y}?
?{x}是一个不可数集，而
y?X?{x}? Vu?是一个可数集，矛盾.
从而X不满足第一可数性公理. ………………………………8分
9、设X是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X不满足第一可数性公理.
15
证明：若X满足第一可数公理，则在x?X处,有一个可数的邻域基，设为V ,因为X是有限补空间，x 因此对?y?X,y?x,X?{y}是x的一个开邻域，从而? Vy?V x ,使得Vy?X?{y}.
于是{y}?Vy, …………………………………………………4分 由上面的讨论我们知道：
?X?{x}? 因为Xy?X?{x}? {y}?y?X?{y}? Vy?
?{x}是一个不可数集，而
y?X?{x}? Vu?是一个可数集，矛盾.
从而X不满足第一可数性公理. ………………………………8分
10、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个满的连续开映射.X满足第二可数性公理，证明：Y也
满足第二可数性公理.
证明：设X满足第二可数性公理，B是它的一个可数基.由于f:X?Y是一个开映射，
B ?{f(B)|B?B}是由
Y中开集构成的一个可数
族. …………………………………………………………3分 下面证明B是Y的一个基.设U是Y的任意开集，则f使得f?1?1(U)是X中的一个开集.因此存在B 1?B,
(U)?B?B 1B.由于f是一个满射，所以有U?f(f?1(U))?B?B 1f(B),从而U是B中
某些元素的并，故B是Y的一个基.这说明Y也满足第二可数性公理. ……8分
11、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个满的连续开映射.X满足第一可数性公理，证明：Y也
满足第一可数性公理.
证明：对?y?Y,由于f:X?Y是一个满射，所以存在x?X,使得f(x)?y,由于X满足第一可数性公理，故在点x处存在一个可数邻域基，设为V x,又由于f:X?Y是一个开映射，则是Y中点y的一个可数邻域族. …………3分 V y ?{f(V)|V?Vx }下面证明V y是Y中点y的一个邻域基.设U是Y中点y的任意邻域，则f域.因此存在V?V x,使得V?f?1?1(U)是X中点x的一个邻
(U).因此f(V)?U,从而V y是Y中点y的一个邻域基.这说明
Y也满足第一可数性公理. ……………………………………………………8分 12、A是满足第二可数性公理空间X的一个不可数集。求证：A至少有一个凝聚点.
证明：若A没有凝聚点，则对任x?A,一定存在x的一个邻域Ux，
使得：Ux?A?{x},由于X满足第二可数性公理，设B是它的可数基，故一定存在一个Bx?B,
16
使得：x?Bx?Ux,
更有Bx?A={x}, ……………………………………………………4分
若令C={Bx| x?A, Bx? B, Bx?Ux},则有C ? B ，从而C必可数.于是 A =
?{x}=
x?A(Bx?A).这样A就是可数集，这与题设A为不可数集相矛盾，故A至少有一个凝聚
Bx?C点. …………………8分
13、证明满足第二可数性公理的空间中每一个由两两无交的开集构成的集族都是可数族.
证明：设A是满足第二可数性公理的空间X中由两两无交的开集构成的集族, 由于X满足第二可数性公理，
设B是X的可数基 ………………………………………………3分
对A的每一个元素A ,因为B是X的基,存在B?B使得B?A.因为A中的元素两两无交,从而A中不同元素包含B中的元素也不相同.因为B可数, 故A是可数族. ………………………………8分 14、设X是一个T1空间,A?X,x?d(A),证明：x的每一个邻域U中都含有A中的无限多个点.
证明：设x?d(A)，若x有一个开邻域U含有A中的有限多个点，设B?U?A?{x},则B是一个有限集，从而B是一个闭集，故U?B是一个开集且是x的一个开邻域. …………………………………4分
又易知(U?B)?(A?{x}??),从而x?d(A)，矛盾.故U含有A中的无限多个点. ………………………………………………………8分
15、设X是一个T1空间,A?X,x?d(A),证明：对x的每一个邻域U有U?A是无限集.
证明：设x?d(A)，若x有一个开邻域U含有A中的有限多个点，设B?U?A?{x},则B是一个有限集，从而B是一个闭集，故U?B是一个开集且是x的一个开邻域. …………………………………4分
又易知(U?B)?(A?{x,从而x?d(A)，矛盾.故U?A是无限?}?集. …………………………………………………………………8分 16、设{xi}是T2空间X的一个收敛序列,证明：{xi}的极限点唯一.
证明：若极限点不唯一，不妨设limxi?y1,limxi?y2,其中y1?y2，由于X是T2空间，故y1和y2i??i??各自的开邻域U,V，使得U?V??.因limxi?y1，故存在N1?0，使得当i?N1时，xi?U；同
i??理存在N2?0，使得当i?N2时，xi?V.…………………………………………4分
令N?max{N1,N2},则当i?N时，xi?U?V，从而U?V??,矛盾，故{xi}的极限点唯一. ……………………………………………8分
17、设X是一个拓扑空间，证明X是hausdorff空间当且仅当积空间X?X的对角线
17
??{(x,x)?X?X|x?X}是一个闭集.
证明：充分性：对任意x,y?X,x?y，于是(x,y)???,由于?是闭集，所以??是开集，从而有X的开邻域U,V使得(x,y)?U?V???，于是U,V分别是x,y的开邻域,且U?V??，从而X是Hausdorff空间. ……………………………………………………………4分
必要性：若X是hausdorff空间，对?(x,y)???，则x和y分别有开邻域U,V，使得U?V??，从而(x,y)?U?V???，由于U?V是X?X中的开集，所以??是其每一点的邻域，故??是开集，从而?是闭集. ……………………………………………………………8分
18、设X是Hausdorff空间，f:X?X是连续映射.证明A?{x?X|f(x)?x}是X的闭子集.
证明：对于?x?A?，则f(x)?x，从而f(x),x有互不相交的开邻域U和V，设
W?f?1(U)?V，…………………………………4分
则W是x的开邻域，并且x?W?A?,故A?是开集，
从而A是闭集. …………………………………………………8分
19、设X是一个正则空间，A是X的闭子集,x?A，证明：x和A分别有开邻域U和V使得U证明：由于X是一个正则空间，从而x和A分别有开邻域W和V使得W因此V?V??.
?V??，故V?W?，
?W?. ………………4分
x的开邻域
又由正则空间的性质知：存在U使得
U?W,从而
U?V??. ……………………………………………………8分
20、设X是一个正规空间，A ，B是X的两个无交的闭子集.证明：A和B分别有开邻域U和V使得
U?V??.
证明：由于X是一个正规空间，从而A和B分别有开邻域W和V使得W因此V?V??，故V?W?，
?W?.………………4分
A的开邻域
由正规空间的性质知：存在U使得
U?W,从而
U?V??. ……………………………………………………8分
21、设X是一个拓扑空间，[0,1]是闭区间，若对X的任何两个无交的闭集A,B都存在一个连续映射
f:X?[0,1],使得当x?A时，f(x)?0,当x?B时，f(x)?1.证明：X是一个正规空间.
证明：设A,B是X的任意两个无交的闭集，由题意知存在一个连续映射f:X?[0,1],使得当x?A18
时，f(x)?0,当x?B时，f(x)?1. 设U?f?1([0,0.5)),V?f?1((0.5,1]),……………………………4分
X是一个正规空
易知U,V分别是A和B的开邻域且U?V??.从而间. ………………………………………………………………8分
22、证明T4空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集.
证明：设C是T4空间X中的一个连通子集，如果C不只包含一个点，任意选取x,y?C,x?y.对于T4空间X中的两个无交的闭集{x},{y}，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射
f:X?[0,1]，使得f(x)?0和f(y)?1.………………………………………4分
由于C是X的一个连通子集，从而f(C)连通，由于0,1?f(C)， 所以f(C)?[0，,由于[0,1]是一个不可数集，所以C也是一个不可数
集. ……………………………………………………………8分
23、X是T4空间，B为X的一个拓扑基，则对于每一个B?B及x?B,都有一个B1?B使得x?B1?B.
证明：X是T4空间，必为T1的正规空间，对任意x?X,{x}为闭集.
对于B?B且x?B,B就是{x}的一个开邻域.由于X为正规空间，必存在{x}的一个开邻域U,使得
U?B.……………………4分
U也是x的开邻域，一定存在一个B1?B ，使得 x?B1?U,且有B1?U，当然就有x?B1?B.………………………………8分
24、设X为Hausdorff空间 ,f:X?X是一个连续映射, 且
f?f?f．证明:
f(X)是X的闭集．
证明：对?x?X?f(X)，则f(x)?x，由于X是Hausdorff空间，存在x和f(x)的邻域U1,V，使得U1?V??.又因为f连续,故存在x的邻域U2,使得f(U2)?V,令U?U1?U2,则U是
x的邻域,且U?X?f(X).………………………………………………4分
事实上,若存在z?U使得z?f(X),即? y?X使得z?f(y).于是f(z)?f而f(z)?f(U)?V,
这样,z?U?V?U1?V??,矛盾.所以U?X?f(X),即f(X) 是闭集. …………………………………………………………8分
19
f(y)?f(y)?z,
25、设X是T1空间，A是X的至少含有两点的连通子集，则A一定是无 限集．
证明：若A为有限集，设a,b?A且a?b,由于X为T1空间，于是{a}与A-{a}就是X的闭集.且{a}?（A-{a}）=ф及A-{a}?ф,…4分
从而，A={a}?(A-{a}) ,故A不是X的连通子集.这与题设相矛盾，所以A必为无限集. ………………………………………………8分
26、如果拓扑空间的每一个紧致子集都是闭集，则X的每个收敛序列{xi} 的极限点唯一.
证明：因为单点集总是紧致子集，从而拓扑空间X的每一个单点集是闭集，故X是T1空间，若{xi}的极限点不唯一，不妨设收敛到a,b,a?b.易知X?{b}是包含a的开邻域,因此它包含序列{xi}的几乎所有项，也就是说{xi}只有有限项为b …………………………………4分
设A?{xn|xn?b}?{a},则A是紧致子集，从而是闭集.故A?是b的一个开邻域，它最多只能含{xi}的有限多项，从而b不是{xi}的极限点，矛盾.从而X的每个收敛序列{xi}的极限点唯一. ……………8分
27、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个连续映射.如果A是X的一个紧致子集，证明f(A)是Y的一个紧致子集.
证明：设C是f(A)的一个由Y中的开集构成的覆盖.对于任意C?C，f由于
?1(C)是X中的一个开集，
c?CC?f(A),从而有：
f?1(C)?f?1(C?CC?CC)?f?1(f(A))?A
所以A={f?1(C)|C?C}是一个由X中的开集构成的A的覆盖.由于A是X的一个紧致子集，所以A
?1有一个有限子族，设为{f?1因为f(C1)?(C1),,f?1(Cn)}覆盖A. …………………………………4分
?f?1(Cn)?f?1(C1??Cn)?A，从而C1??Cn?f(A)，Cn是即{C,1,}C 的一个子族并且覆盖f(A)，因此f(A)是Y的一个紧致子集. ………………………………8分 28、设X是一个正则空间，A是X的一个紧致子集，Y?X.证明：如果A?Y?A,则Y也是X的一个紧致子集.
证明：设A是任意一个由X中的开集构成的Y的覆盖，因此A也是A的一个覆盖，由于A是X的紧致子集，从而A有有限个成员A1,?,An使得?Ai?A. …………………………………4分
i?1n由于A是正则空间的紧致子集，从而A有一个开邻域U，使得U??Ai,从而有?Ai?A?Y,
i?1i?120
nn从而A有有限子覆盖{A1,?,An}，因此Y是X的一个紧致子集. ………………8分
29、设X是一个正则空间，A是X的一个紧致子集.证明：A也是X的一个紧致子集.
证明：设A是任意一个由X中的开集构成的A的覆盖，因此A也是A的一个覆盖，由于A是X的紧致子集，从而A有有限个成员A1,?,An使得?Ai?A. …………………………………4分
i?1n由于A是正则空间的紧致子集，从而A有一个开邻域U，使得UA有有限子覆盖{A1,?,??Ai,从而有?Ai?A,从而
i?1i?1nnAn}，因此A是X的一个紧致子集. ………………………………8分
A?A30、设X是一个Hausdorff空间，A 是它的一个非空集族，由X的紧致子集构成，证明：的一个紧致子集.
证明：对于任意A?A，易知A是一个闭集，从而集. ………………………………………………………4分 取A0?A，则有
A?AA?AA是XA是X的一个闭
由于A0是紧致的，从而是A0的一个紧致子集，易知A?A0，
A?AA也是X的一个紧致子集. ………8分
31、设f:X?Y是连续的一一对应，其中X是紧致空间，Y是一个Hausdorff空间，证明f:X?Y是一个同胚映射.
证明：要证明f:X?Y是一个同胚映射， 只需证明f?1:Y?X连续，进而只需证明f是闭映射.
设A是X的闭集，由X是紧致空间，从而A是X的一个紧致子集，故f(A)是Y的一个紧致子集，……4分
由于Y是一个Hausdorff空间，因此f(A)是Y的一个闭集，从而f是闭映射. …………………………………………………………8分
32、Y是拓扑空间X的子空间，A是Y的紧致子集，证明A是X的紧致子集.
证明：对于A的由X的开集构成的任一开覆盖A ，即A?B?AB,这样，就有A =A?Y ?B?A(B?Y),
若令A?{B?Y|B?A} , A就是由Y的开集构成的A的一个开覆盖，……………………………3分 由于
~A是Y的紧致子集，必有有限的子覆盖B1?Y,B2?Y,......Bn?Y,即
iA?i?1,2,...n?(B?Y)=(i?1,2,...,n?B)?Y,从而A??B,于是{B,B,...,Bii12n}就是A的由X的开集构成的开
i?1,2,...,n覆盖，且是A的一个子覆盖，故A为X的紧致子集. ………………………………………………………8分
21
33、Y是拓扑空间X的子空间，若A是X的紧致子集，证明A是Y的紧致子集.
证明：对A的任意由Y的开集构成的开覆盖B，即A?存在X的开集AB，使得B?AB?Y，
于是{AB|B?B,B?AB?Y}就是A的由X的开集构成的开覆盖，…3分 从而必有有限的子覆盖{AB1,AB2,......ABm}，即 A?Bij?1,2,...,mB?B?B,由于Y是X的子空间，对每一个B?B,必
?A，当然有
A?A?Y?(Bjj?1,2,...,m?A)?Y=
j?1,2,...,m?(ABj?Y)?j?1,2,...,m?Bj，
即 { B1,B2,...,Bm}为A的由Y的开集构成的有限开覆盖，
且为B的子覆盖。故A为Y的紧致子集. ………………………8分 34、设X是一个Hausdorff空间.如果A是X的一个不包含点x?X的紧致子集，则点x和紧致子集A分别有开邻域U,V使得U?V??.
证明：设A是X的一个紧致子集，x?A?.对于每一个y?A,由于X是一个Hausdorff空间，故存在
x的一个开邻域
Uy和
y的一个开邻域
Vy使得
Uy?Vy??. ………………………………………………4分
集族{ Vy|y?A }显然是由X中的开集构成的A的一个覆盖，它有一个有限子覆盖，设为
nn{ Vy1,Vy2,,Vyn}，令U?i?1Uyi和V?i?1Vy,它们分别是点x和A的开邻域，且易知
iU?V??. ……………8分
35、证明Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭子集.
证明：设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集，设对于任意x?A，有x和A的开邻域U和V使
得U?V??， …………………4分
从而U?(A?{x}??)，故x?d(A)，所以d(A)?A，即
A是一个闭
集．………………………………………………………………8分 36、证明每一个紧致的Hausdorff空间都是正则空间．
证明：设A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集，x是X中不属于集合A的任意一点，由于紧致空间中的闭子集是紧致的，所以A是X的一个紧致子集，…………………………………………4分
从而点x和A分别有开邻域U和V使得U?V??，这说明X是一个正则空间．………………………………………………………8分
37、设X是一个Hausdorff空间．如果A,B是X的两个无交的紧致子集，则它们分别有开邻域U和V使
22
得U?V??．
证明：设A,B是X的两个无交的紧致子集，对于?x?A，点x和B分别有开邻域Ux,Vx使得
Ux?Vx??，……………………………4分
显然集族{ Ux|x?A }是紧致子集A的一个覆盖，它由X中的开集构成，由A是一个紧致子集，所
nn以它有一个有限子覆盖，设为{Ux,,Ux}，令U?Ux,V?Vx，易知U?V??． ……8
分
1ni?1ii?1i23
得分 阅卷人 一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，
共18分)
1、已知X?{a,b,c,d,e},下列集族中， 是X上的拓扑.…… （ ）
① T?{X,?,{a},{a,b},{a,c,e}} ② T?{X,?,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}} ③ T?{X,?,{a},{a,b}}
④ T?{X,?,{a},{b},{c},{d},{e}}
2、已知X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{a}},则{a}是 ……………… （ ①φ ② X ③ {a} ④ {b} 3、在实数空间R中给定如下等价关系:
x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[1],[2],[3]},则Y的商拓扑是 （ ① {?,Y,{[3]},{[2],[3]}} ② {?,Y,{[3]}} ③ {?,Y,{[3]},{[1],[2]}} ④ {?,Y}
4、下列拓扑学的性质具有可遗传性的是 ……………………… （ ①连通性 ② T2 ③ 正则 ④正规
5、设X?{1,2}，T?{X,?,{2}}，则(X,T)是 ………………（ ）① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ T3
6、下列拓扑学的性质具有有限可积性的是 …………………… （ ）① 连通性 ② 紧致性 ③ 正则性 ④ 可分性
1、③ 2、② 3、① 4、②③ 5、① 6、①②③④ 得分 阅卷人 二、简答题（每题4分，共32分）
）
）
24
）
1、写出同胚映射的定义.?
设X和Y是两个拓扑空间.如果f:X?Y是一个一一映射，并且f和
f?1:Y?X 都是连续映射，则称f是一个同胚映射.
2、什么是不连通空间?
设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集A,B,使得A?B?X,则称X是一个不连通空间.
3、什么是正则空间？
设X是一个拓扑空间，如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正则空间. 4、写出紧致空间的定义.
设X是一个拓扑空间.如果X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间.
5、写出可分空间的定义
设X是一个拓扑空间，若X有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间。 6、写出列紧空间的定义.
设X是一个拓扑空间. 如果X的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X是一个列紧空间.
7、写出导集的定义.
设X是一个拓扑空间，集合A的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集. 8、写出Urysohn引理的内容.
设X 是一个拓扑空间，[a,b]是一个闭区间. 则X是一个正规空间当且仅当对于X中任意两个无交的闭集A和B，存在一个连续映射f:X?[a,b],使得当x?A时f(x)?a和当x?B时
f(x)?b.
得分 阅卷人
三 、判断下列各题的正误, 正确的打√，错误的打×，
并说明理由 （每题 5分，其中判断2分，理由3 分，本题共10分）
1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射 ………… （ ）
1、答案:√
理由：设X是离散空间，Y是拓扑空间，f:X?Y是连续映射，因为对任意A?Y，
1A)?X,由于X中的任何一个子集都是开集，都有f?（从而f?1(A)是?中的开集，所
以f:X?Y是连续的.
2、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，
则X是一个不连通空间 ……………………………… （ ）
25
2、答案:√
理由：这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集，令B?A?，则A,B都是X中的非空闭子集，它们满足A?B?X，易见A,B是隔离子集，所以拓扑空间X是一个不连通空间 得分 阅卷人 四、证明题（共40分).
1、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两 个无交的开集使得Y?A?B,则或者Y?A,或者Y?B. (7分) 、证明：因为A,B是X的开集，从而A?Y,B?Y是子空间Y的开集.
又因Y?A?B中，故Y?(A?Y)?(B?Y) ………………… 4分 由于Y是X的连通子集,则A?Y,B?Y中必有一个是空集. 若B?Y??,则Y?A;若
A?Y??,则Y?B
2、设X是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X不满足第一可数性公理.
(7分证明：若X满足
第一可数公理，则在x?X处,有一个可数的邻域基，
设为V x ,因为X是有限补空间，因此对?y?X,y?x,X?{y}是x 的一个开邻域，从而? Vy?V x ,使得Vy?X?{y}. …………4分 于是{y}?Vy, 由上面的讨论我们知道：
?X?{x}? 因为X?{x}是一个不可数集，而从而X不满足第一可数性公理.
y?X?{x}? {y}?? Vyy?X?{y}?
y?X?{x}? Vu?是一个可数集，矛盾.
3、设{xi}是T2空间X的一个收敛序列,证明：{xi}的极限点唯一. (7分)
证明：若极限点不唯一，不妨设limxi?y1,limxi?y2,其中y1?y2，由于X是T2空间，故y1和
i??i??y2各自的开邻域U,V，使得U?V??. …………………4分
xi?U；xi?V.因limxi?y1，故存在N1?0，使得当i?N1时，同理存在N2?0，使得当i?N2时，
i??26
令N?max{N1,N2},则当i?N时，xi?U?V，从而U?V??,矛盾，故{xi}的极限点唯一
4、设X是Hausdorff空间，f:X?X是连续映射.证明A?{x?X|f(x)?x}是X的闭子集.
(7分)
证明：对于?x?A?，则f(x)?x，从而f(x),x有互不相交的开邻域U和V，设
W?f?1(U)?V， …………………………………4分
则W是x的开邻域，并且x?W?A?,故A?是开集， 从而A是闭集
5、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个连续映射.如果X是一个紧致空间，证明f(X)是Y的一个紧致子集. (7分)
证明：设C是f(X)的一个由Y中的开集构成的覆盖.对于任意C?C，f?1(C)是X中的一个开集，由于
c?CC?X,从而有：
f?1(C)?f?1(C?CC?CC)?f?1(f(X))?X
所以A={f?1(C)|C?C}是X的开覆盖.由于X是紧致空间，所以A 有一个有限子覆盖，设为{f?1(C1),因为f?1(C1)?,f?1(Cn)}. …………………………………4分
?f?1(Cn)?f?1(C1??Cn)?X，从而C1??Cn?f(X)，,,C}n是即{C1C 的一个子族并且覆盖f(X)，因此f(X)是Y的一个紧致子集. 6、设X为Hausdorff空间 ,f:X?X是一个连续映射, 且f?f?f．
证明:f(X)是X的闭集． (5分).
6、证明：对?x?X?f(X)，则f(x)?x，由于X是Hausdorff空间，存在x和f(x)的邻域U1,V，使得U1?V??.又因为f连续,故存在x的邻域U2,使得f(U2)?V,令
U?U1?U2,则U是x的邻域,且
U?X?f(X). ………………………………………………3分
事实上,若存在z?U使得z?f(X),即? y?X使得z?f(y).于是
f(z)?ff(?y)f(?,y)而f(z)?f(U)?V,
27
这样,z?U?V?U1?V??,矛盾.所以U?X?f(X),即f(X) 是闭集.
28