?x＝a－2t，
[例2] (福建高考)已知直线l的参数方程为?(t为参数)，圆C的
?y＝－4t?x＝4cos θ，
参数方程为?(θ为参数)．
y＝4sin θ?
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围． [思路点拨] (1)化参数方程为普通方程． (2)利用圆心到直线的距离d≤4可求．
[精解详析] (1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0， 圆C的普通方程为x2＋y2＝16. (2)因为直线l与圆C有公共点， 故圆C的圆心到直线l的距离d＝解得－25≤a≤25.
解决此类问题的关键是化圆的参数方程为普通方程后再求解．
2. 设点M(x，y)在圆x2＋y2＝1上移动，求点Q(x(x＋y)，y(x＋y))的轨迹的参数方程．
解：设M(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q(x1，y1)， ?x1＝cos θ?cos θ＋sin θ?，
则?0≤θ≤2π， y＝sin θ?cos θ＋sin θ?，?1即为所求的参数方程．
?x＝cos θ，[例3] 已知点P(x，y)是圆?0≤θ≤2π上的动点．
?y＝1＋sin θ(1)求3x＋y的取值范围；
(2)若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．
[思路点拨] 本题考查圆的参数方程的求法及不等式的恒成立问题．解决本题需要正确求出圆x2＋y2＝2y的参数方程，然后利用参数方程求解．
|－2a|
≤4， 5
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?x＝cos θ，
[精解详析] (1)∵P在圆?上，
?y＝1＋sin θπ
∴3x＋y＝3cos θ＋sin θ＋1＝2sin(θ＋3)＋1. ∴－2＋1≤3x＋y≤2＋1，即3x＋y的取值范围为 [－1,3]．
(2)x＋y＋a＝cos θ＋sin θ＋1＋a≥0， ∴a≥－(cos θ＋sin θ)－1.
π
又－(cos θ＋sin θ)－1＝－2sin(θ＋4)－1≤2－1， ∴a≥2－1，即a的取值范围为[2－1，＋∞)．
(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的坐标，并正确确定参数的取值范围．
(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是利用正、余弦函数的有界性．
?x＝1＋cos θ，
3．将参数方程?(0≤θ≤2π)转化为直角坐标方程是
y＝sin θ?________________，该曲线上的点与定点A(－1，－1)的距离的最小值为________．
解析：易得直角坐标方程是(x－1)2＋y2＝1，所求距离的最小值应为圆心到点A的距离减去半径，易求得为5－1.
答案：(x－1)2＋y2＝1
[对应学生用书P30]
5－1
一、选择题
?x＝2＋2cos θ，
1．圆的参数方程为?0≤θ≤2π.则圆的圆心坐标为( )
?y＝2sin θA．(0,2)
B．(0，－2)
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C．(－2,0) D．(2,0)
解析：选D 圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝4. 故圆心坐标为(2,0)．
?x＝5cos θ，
2．若直线2x－y－3＋c＝0与曲线?(0≤θ≤2π)相切，则实数
y＝5sin θ?c等于( )
A．2或－8 C．－2或8
B．6或－4 D．4或－6
?x＝5cos θ，
解析：选C 将曲线?(0≤θ≤2π)化为普通方程为x2＋y2＝5，
?y＝5sin θ|－3＋c|
由直线2x－y－3＋c＝0与圆x＋y＝5相切，可知＝5，解得c＝－2或
5
2
2
8.
?x＝2＋cos α，
3．P(x，y)是曲线?0≤α≤2π上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2
?y＝sin α的最大值为( )
A．36 C．26
B．6 D．25
解析：选A 设P(2＋cos α，sin α)，代入得 (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin2α＋cos2α－6cos α＋8sin α 3
＝26＋10sin(α－φ)(tan φ＝4，φ为锐角)． ∴最大值为36.
?x＝2cos θ，?x＝t，
4．已知曲线C：?(0≤θ≤2π)和直线l：?(t为参数，b
?y＝2sin θ?y＝t＋b为实数)，若曲线C上恰有3个点到直线l的距离等于1，则b＝( )
A.2 C．0
B．－2 D．±2
解析：选D 将曲线C和直线l的参数方程分别化为普通方程为x2＋y2＝4
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和y＝x＋b，依题意，若要使圆上有3个点到直线l的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到
二、填空题
5．把圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0化为参数方程为________．
解析：圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，
?x＝－1＋2cos θ，故参数方程为?(0≤θ≤2π)．
y＝2＋2sin θ??x＝－1＋2cos θ，
答案：?(0≤θ≤2π)
?y＝2＋2sin θ
?x＝cos θ，
6．已知圆C：?与直线x＋y＋a＝0有公共点，则实数a的取
?y＝－1＋sin θ值范围为________．
解析：将圆C的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a＝0，
?π?
即a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin?θ＋4?.
???π?∵－1≤sin?θ＋4?≤1，∴1－2≤a≤1＋2.
??答案：[1－2，1＋2]
?x＝tcos θ，?x＝4＋2cos α，
7．直线?(t为参数)与圆?(0≤α≤2π)相切，则θ
y＝tsin θy＝2sin α??＝________.
解析：直线为y＝xtan θ，圆为(x－4)2＋y2＝4，作出图形，相切时，易知倾π5π
斜角为6或6.
π5π
答案：6或6
8．已知动圆x2＋y2－2axcos θ－2bysin θ＝0(a，b是正常数，且a≠b，θ为参数)，则圆心的轨迹的参数方程为________．
解析：设P(x，y)为动圆的圆心，
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|b|
＝1，解得b＝±2. 2