五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．已知：∠MON＝80°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上
的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝α． （1）如图1，若AB∥ON，则：
①∠ABO的度数是 ；
②如图2，当∠BAD＝∠ABD时，试求α的值（要说明理由）；
（2）如图3，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的
角？若存在，直接写出α的值；若不存在，说明理由．（自己画图）
22．著名的瑞士数学家欧拉曾指出：可以表示为四个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其
乘积仍然可以表示为四个整数平方之和，即(a?b?c?d)(e?f?g?h)?
22222222A2?B2?C2?D2，这就是著名的欧拉恒等式，有人称这样的数为“不变心的数”．
实际上，上述结论可减弱为：可以表示为两个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘 积仍然可以表示为两个整数平方之和．
【动手一试】 试将(1?5)(2?7)改成两个整数平方之和的形式．
2222(12?52)(22?72)?_______________；
【阅读思考】 在数学思想中，有种解题技巧称之为“无中生有”． 例如问题：将代数式x?y?22211?改成两个平方之差的形式． x2y2解：原式?(x?111112122?2?x?)?(y??2?y?)?(x?)?(y?)﹒ 22xxyyxy【解决问题】 请你灵活运用利用上述思想来解决“不变心的数”问题： 将代数式(a?b)(c?d)改成两个整数平方之和的形式（其中a、b、c、d均为 整数），并给出详细的推导过程﹒
2222
六、（本大题共1小题，每小题12分，共12分
23．在四边形ABDC中，AC＝AB，DC＝DB，∠CAB＝60°，∠CDB＝120°，E是
AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE＝BF．
（1）试说明：DE＝DF；
（2）在图中，若G在AB上且∠EDG＝60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关
系并证明所归纳结论；
（3）若题中条件“∠CAB＝60°，∠CDB＝120°”改为∠CAB＝α，∠CDB＝180°
G在AB上，∠EDG满足什么条件时，(2)中结论仍然成立？ （只写结果不要证明）．
参考答案
－α，
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．B 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7．2.5×10 8．b2?a2 9．
－6
3 10． ①②④ 11．80° 12．3，9，15 8三、解答题（本大题共5小题，每小题各6分，共24分） 13．（1）56；（2）130°．
14．化简：原式＝?6x?2y?1，求值：原式＝13． 15．在△ADB和△BCA中，
?AD?BC
?， ?AB?BA，∴△ADB≌△BCA（SSS）?BD?AC?
∴∠ABD＝∠BAC，∴OA＝OB＝10－4＝6． 16．（1）Q?60?3t；（2）t?20． 17．
四、（本大题共3小题，每小题各8分，共24分） 18．（1）
O N
· · ·A 图甲
F Q
M P
R ·G · · ·C O ·A 图乙
F Q
M P ·E B B ·E 1； 321?． 126（2）树状图： P?19．（1）在△ABC和△EDC中，
?AC?CE?， ∴AB＝DE； ??ACB??ECD， ∴△ABC≌△EDC（SAS）?BC?CD? （2）∵AE－AD＜DE＜AD＋AE， 又∵AC＝CE＝120，AB＝DE，AD＝200，
∴240－200＜DE＜200＋240，即40米＜DE＜440米．
20．（1）70，54； （2）旋转时间x，高度y； （3）65，6． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．（1）①40°；
②如图，∵∠MON＝80°，且OE平分∠MON，
∴∠1＝∠2＝40°，又AB∥ON，∴∠3＝∠1＝40°， ∵∠BAD＝∠ABD，∴∠BAD＝40°．
又AB∥ON，∴∠BAO＋∠AOC＝180°，∴∠BAO＝100°， ∴∠OAC＝∠BAO－∠BAD＝100°－40°＝60°，即α=60°． （2）存在这样的α， α=10°、25°、40°． 22．（1）(1?5)(2?7)?3?37；
（2）(a?b)(c?d)?(ac?bd)?(ad?bc)，证明如下：
证明：(a?b)(c?d)?(ac?bd)?(ad?bc)
222222222222222222222222?(a2c2?b2d2?2abcd)?(a2d2?b2c2?2abcd)
?(ac?bd)?(ad?bc)﹒
六、（本大题共1小题，每小题12分，共12分）
23．(1)证明：∵∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠CAB=60°，∠CDB=120°，
∴∠C+∠ABD=360°﹣60°﹣120°=180°， 又∵∠DBF+∠ABD=180°， ∴∠C=∠DBF， 在△CDE和△BDF中，
?CD?BD???C??DBF（SAS） ∴△CDE≌△BDF， ∴DE=DF． ?CE?BF?22(2)解：如图1，连接AD， 猜想CE、EG、BG之间的数量关系为：CE+BG=EG．
证明：在△ABD和△ACD中，
?AB?AC??BD?CD（SSS）∴△ABD≌△ACD， ∴∠BDA=∠CDA=∠CDB=×120°=60°， ?AD?AD?又∵∠EDG=60°， ∴∠CDE=∠ADG，∠ADE=∠BDG，
由（1），可得△CDE≌△BDF， ∴∠CDE=∠BDF， ∴∠BDG+∠BDF=60°， 即∠FDG=60°， ∴∠EDG=∠FDG， 在△DEG和△DFG中，
?DE?DF? ??EDG??FDG∴△DEG≌△DFG， ∴EG=FG，
?DG?DG?又∵CE=BF，FG=BF+BG， ∴CE+BG=EG；
(3)解：要使CE+BG=EG仍然成立，
则∠EDG=∠BDA=∠CDA=∠CDB， 即∠EDG=（180°﹣α）=90°﹣α， ∴当∠EDG=90°﹣α时， CE+BG=EG仍然成立．