概率统计练习册习题解答(定)

P(X?1500)?解: 从而所求概率为

510002dx??1500x23??。 ?1?1?C???3?05?C152?1???3?3?4?1?1135。

5. 设连续型随机变量X~N,(1)求P?2?X?5?(2)确定常数C使(3,4),PX?2;

??P?X?C??P?X?C?。

?5?3??2?3?P(2?X?5)??????????(1)??(?0.5)?2??2???(1)??1???0.5???0.5328解:(1) P?X?2??1?P?X?2??1?P??2?X?2???2?3???2?3???1?????????????0.5??1???2.5??0.697722?????? (2)由于P?X?c??P?X?c?,从而,P?X?c??12。 ??0??故1?c?3?c?3?P?X?c??????02?2?。所以,2,故c?3。 6.设连续型随机变量XE(?),证明:对一切实数s?0,t?0有

P(X?s?t|X?t)?P(X?s)。

证明:由于XE(?),从而其分布函数为

x?0,??0,F(x)????x??1?e,x?0.

故,对一切实数s?0,t?0,

P(X?s?t|X?t)?P(X?s?t,X?t)P(X?s?t)?P(X?t)P(X?t) 1?P(X?s?t)1?F(s?t)e??(s?t)?????t1?P(X?t)1?F(t)e ?e??s?1?F(s)?P(X?s)。

习题2-4 二维随机变量及其分布

1.一箱子装有100件产品,其中一、二、三等品分别为80件,10件,10件。现从中随机抽取一件,

?1,若抽到一等品,?1,若抽到二等品,X1?? X2??

其他.其他.?0,?0,试求(X1,X2)的联合分布列。

解:

P?X1?1,X2?1??0;P?X1?1,P?X1?0,P?X1?0,X2?0??P?X1?1??80?0.8;10010X2?1??P?X2?1???0.1;10010X2?0???0.1。1002.设随机变量ZU(?2,2),随机变量

???1,X????1,Z??1,Z??1; Y?????1,??1,Z?1,Z?1.

试求(X,Y)的联合分布列。

解:由ZU(?2,2)知其密度函数为?1?,?2?z?2,f(z)??4?0,其他.??1 P(X??1,Y??1)?P(Z??1,Z?1)?P(Z??1)??P(X??1,Y?1)?P(Z??1,Z?1)?0;

?211dz?44; P(X?1,Y??1)?P(Z??1,Z?1)?P(?1?Z?1)??P(X?1,Y?1)?P(Z??1,Z?1)?P(Z?1)??3. 完成下列表格

Y X 211dz??142; 1111dz?44。 y1 0.1 0.2 0.3 y2 0.1 0.2 0.3 y3 0.2 0.2 0.4 pi. 0.4 0.6 1 x1 x2 p.j

4.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为:

?x2?cxy,f(x,y)???00?x?1,0?y?2其他,

求:(1)常数c;(2)P{X?Y?1};(3)X和Y的边缘密度函数。

解:(1)1???10?12?0?x?cxy?dydx?3?c,c?3 22??1?x?217??P?X?Y?1????x?xydy?dx????0??0372????1。 求X的边缘密度函数: 当

fX?x??x?0或x?1时,

?f?x,y?dy。 fX?x??0;

???? 当0?x?1时,求Y的边缘密度函数:

fX?x???202?21?2?x?xy?dy?2x?x33。 ??f?x,y?dx。当

fY?y??1?????y?0或y?2时,fY?y??0;

当0?y?2时,fY?y??11?21?x?xydx??y??0?336。 ??5. 设(X,Y)服从G?{(x,y)|0?x?2,0?y?1}上的均匀分布,求:

(1)(X,Y)的联合概率密度函数;(2)P{Y?X};(3)X和Y的边缘密度函数。 解:(1)由(X,Y)服从G上的均匀分布知,(X,Y)的联合密度为:

2?1?,f?x,y???2??0,PY?X(2)0?x?2其他。2,0?y?1; ????204?x21?dy?dx???3。 ?02?(3)先求X的边缘密度: 当

fX?x??时

?????f?x,y?dy;

。 当

x?0或x?2fX?x??00?x?2时,

fX?x???1011dy?22。 fY 再求Y的边缘密度函数:

?y???????f?x,y?dx

y?0或y?1时,fY?y??0;当0?y?1时,fY?y???201dx?12。 习题2-5 条件分布及随机变量的独立性

1.设二维离散型随机变量(X,Y)只取 (0,0),(?1,1),(?1,2) 及 (2,0) 四对值,相应概率依次为

1115, , , ,试判断随机变量X与Y是否相互独立。 126312

1P(X?0)?,12解:由于P?X?0, 而所以,X与Y不独立。

151P?Y?0????,12122 11?P?X?0?P?Y?0??,1224 Y?0??2. 设随机变量X与Y相互独立,试完成下表:

Y X x1 x2 y1 1/24 1/8 1/6 y2 1/8 3/8 1/2 y3 1/12 1/4 1/3 pi. 1/4 3/4 p.j

1 3.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为

??1,0?x?1,0?y?2x,f(x,y)??

0,其他.??试判定X与Y是否相互独立。 解:

fX(x)??????f(x,y)dy.

;当0?x?1时,

当x?0或x?1时,

fX(x)?0.

fX(x)??1dy?2x02x.

fY(y)??????f(x,y)dx当y?0或y?2时,fY(y)?0;当0?y?1时,fY(y)??1dx?1?y21y2. 由于当(x,y)?{0?x?1,0?y?2x}时,

f(x,y)?fX(x)?fY(y),

且区域{0?x?1,0?y?2x}的面积不为0,所以,X与Y不相互独立.

4. 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为

?cxy20?x?1,0?y?1f(x,y)??,

其他?0求常数c,并判断X与Y是否相互独立。

1?解:??????????f?x,y?dxdy?1c2??cxydydx?,???0??0?6从而,c1?6。

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