因为cosMPN2?1,P不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，MN?4,由余弦定理有
22
MN?PM?PN?2PMgPNcosMPN. ②
将①代入②，得 42?PM?PN?2(PMgPN?2).
22x2?y2?1上. 故点P在以M、N为焦点，实轴长为23的双曲线3x2y2??1，所以 由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足95?33x??,22???5x?9y?45,?2
由方程组? 解得?22??x?3y?3.?y??5.??2 即P点坐标为
(335335335335,)、（，-）、（-，）或（?，-）. 22222222问题九：四点共线问题
x2y2例题10、（08安徽理）设椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点M(2,1)，且着焦点为F1(?2,0)
ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点总在某定直线上
22解 (1)由题意：
A,B时，在线段AB上取点Q，满足
uuuruuuruuuruuurAPgQB?AQgPB，证明：点Q
?c2?2?x2y2?2122??1 ?2?2?1 ，解得a?4,b?2，所求椭圆方程为 42?ab222?c?a?b?(2)方法一
设点Q、A、B的坐标分别为(x,y),(x1,y1),(x2,y2)。
由题设知
uuuruuurAPAQuuuruuuruuuruuurAP,PB,AQ,QB均不为零，记??uuur?uuurPBQB,则??0且??1
uuuruuuruuuruuur又A，P，B，Q四点共线，从而AP???PB,AQ??QB
于是 从而
4?x1??x2， 1?1??x??x2x?1， y?1??y1??y2
1??y1??y2
1??
2x12??2x2?4x，LL1??2（1）
2y12??2y2?y，LL1??2（2）
又点A、B在椭圆C上，即
22x12?2y12?4,LL(3) x2?2y2?4,LL(4)
（1）+（2）×2并结合（3），（4）得4s?2y即点Q(x,y)总在定直线2x??4
y?2?0上
3x2y2例题1、已知直线y??x?1与椭圆2?2?1(a?b?0)相交于A、B两点。 （1）若椭圆的离心率为
3ab段AB的长； （2）若向量OA与向量OB互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e?[，焦距为2，求线
12,]时，求椭圆的长轴长的最大22值。
x2?y2?1的左、右焦点。（07四川理）设F1、F2分别是椭圆（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1·PF24值；（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点值范围。
解：（Ⅰ）解法一：易知a的最大值和最小
，求直线l的斜率k的取A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点）
?2,b?1,c?3 所以F1??3,0,F2??3,0?，设P?x,y?，则
x213?x,?y?x?y?3?x?1??3??3x2?8?
44uuuruuuurPF1?PF2??3?x,?y,????222uuuruuuur因为x???2,2?，故当x?0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值?2
uuuruuuur当x??2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值1 <