1、中点坐标公式：x?x1?x2y?y,y?12，其中x,y是点A(x1,y1)，B(x2,y2)的中点坐标。 222、弦长公式：若点A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线y?kx?b(k?0)上，
则y1?kx1?b，y2?kx2?b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(x1?x2)2?(kx1?kx2)2?(1?k2)(x1?x2)2 ?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] 或者AB?111(x1?x2)2?(y1?y2)2?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?2)(y1?y2)2 kkk?(1?1)[(y1?y2)2?4y1y2]。 2k3、两条直线l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2垂直：则k1k2??1
v2?0 两条直线垂直，则直线所在的向量v1g4、韦达定理：若一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有两个不同的根x1,x2，则x1?x2??常见的一些题型：
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
2rrbc,x1x2?。 aax2y2??1始终有交点，求m的取值范围 例题1、已知直线l:y?kx?1与椭圆C:4m（0，?思路点拨：直线方程的特点是过定点（0，1），椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0），和动点
m),且m?4。
x2y2（0，?m),且m?4，如果直线??1过动点解：根据直线l:y?kx?1的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆C:4mx2y2?1始终有交点，则m?1，且m?4，即1?m且m?4。 l:y?kx?1和椭圆C:?4m规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：
l:y?kx?1?过定点（0，1） l:y?k(x?1)?过定点（?1，0） l:y?2?k(x?1)?过定点（?1，2）
证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。 一、过一定点P和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：
（1）若定点P在抛物线外，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线； （2）若定点P在抛物线上，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；
（3）若定点P在抛物线内，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。
二、过定点P和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：
（1）若定点P在双曲线内，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；
（2）若定点P在双曲线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；
（3）若定点P在双曲线外且不在渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线； （4）若定点P在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；
（5）若定点P在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P和双曲线只有一个公共点的直线不存在。
题型二：弦的垂直平分线问题
弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。
例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N ：y求出x0；若不存在，请说明理由。
2?x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(x0,0)，使得?ABE是等边三角形，若存在，
分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：
y2?x相交A、B两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，
分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E点坐标，最后由正
三角形的性质：中线长是边长的32倍。运用弦长公式求弦长。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线l:?y?k(x?1)消y整理，得 y?k(x?1)，k?0，A(x1,y1)，B(x2,y2)。由?2y?x?k2x2?(2k2?1)x?k2?0 ①由直线和抛物线交于两点，得??(2k2?1)2?4k4??4k2?1?0
2k2?11,x1x2?1。 即0?k? ②由韦达定理，得：x1?x2??k2422k2?11111?2k2,)。线段的垂直平分线方程为：y???(x?) 则线段AB的中点为(?222k2k2kk2k令y=0,得x0?1111，则?E(?,0)Q?ABE为正三角形， 222k22k21?4k21?k22g1?kd?。QAB?(x1?x2)?(y1?y2)?k22k22311AB?E(2?,0)到直线AB的距离d为22k2
31?4k21?k22?g1?k?2k22k 解得k??3913满足②式 此时x0?5。 3x2?y2?1的左焦点为F，O为坐标原点。 例题3、已知椭圆（Ⅰ）求过点O、F，并且与x??2相切的圆的方程； 2（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。
分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x轴相交，则弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB的方程求出中点的总坐标，再有弦AB的斜率，得到线段AB的垂直平分线的方程，就可以得到点G的坐标。 解：(I) ∵a=2，b=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2. ∵圆过点O、F,∴圆心M在直线x=-2
2
1113上 设M(-,t)，则圆半径：r=|(-)-(-2)|= 2222由|OM|=r，得
13(?)2?t2?，解得t=±2，
22∴所求圆的方程为(x+
19)+(y±2)=. 242
2
(II)由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0, 设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0)，
x2代入
2+y=1，整理得 (1+2k)x+4kx+2k-2=0
22222
∵直线AB过椭圆的左焦点F， ∴方程一定有两个不等实根,
4k2, 设A(x，y)，B(x，y)，AB中点N(x，y)， 则x+x=-22k?11
1
2
2
0
0
1
1
12k2x0?(x1?x2)??2,22k?1
y0?k(x0?1)?k2k?12
∴AB垂直平分线NG的方程为
1y?y0??(x?x0)
k2k2k2?令y=0，得 xC?x0?ky0??
2k2?12k2?1k2111??2???2 ∵k?0,???xc?0.
2k?124k?22∴点G1横坐标的取值范围为（?,0）。例题
24、已知椭圆
3x2y2C：2?2?1(a?b?0)的离心率为
2ab，且在x轴上的顶点分别为
A1(-2,0),A2(2,0)。
（I）求椭圆的方程； （II）若直线l:x?t(t?2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、
N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。
分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A1、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2的方程，直线PA1和椭圆交点是A1(-2,0)和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标。动点P在直线l:x?t(t?2)上，相当于知道了点P的横坐标
了，由直线PA1、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。 解：（I）由已知椭圆C的离心率e?c3?，a?2,则得c?3,b?1。 a2（II）设
x2?y2?1 从而椭圆的方程为4N(x2,y2)，直线A1M的斜率为k1,则直线
M(x1,y1)，
A1M的方程为
y?k1(x?2)，由
?y?k1(x?2)?22x?4y?4?消y整理得
(1?4k12)x2?16k2x?16k12?4?0
根，
Q?2和x1是方程的两个
4k116k12?42?8k12y? 则，??2x1?x?111?4k121?4k121?4k12，
22?8k124k18k2?2?4k2即点M的坐标为(， 同理，设直线A,),) 2N的斜率为k2，则得点N的坐标为(221?4k121?4k121?4k21?4k2Qyp?k1(t?2),yp?k2(t?2) ?k1?k2y?y1y2?y12??，Q直线MN的方程为：?k1?k2tx?x1x2?x1，
?令y=0，得x?x2y1?x1y2y1?y2，将点M、N的坐标代入，化简后得：x?4 t 故当t又Qt?2，?0?4344?2 Q椭圆的焦点为(3,0)??3，即t?3tt?433时，MN过椭圆的焦点。
例题5、（07山东理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1； （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若直线l：y?kx?m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：
直线l过定点，并求出该定点的坐标。
分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线l：y?kx?m与椭圆C相交于A，B两点，并且椭圆的右顶点和
A、B的连线互相垂直，证明直线l过定点，就是通过垂直建立k、m的一次函数关系。
x2y2解（I）由题意设椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0)
ab