当中间隔板两侧的液体的自由液面处在同一倾斜平面内时，设隔板左侧液面上升的高度为z1，隔板右侧液面下降的高度为z2，根据自由面方程得
z1?aaaax1?l， z2?x2?l ggg2g3al?h2?h1 2g又知 z1?z2?所以 a?2g2?9.81(h2?h1)??(2?1)?6.54m/s2 3l3?12－24 一矩形水箱长为l＝2.0m，箱中静水面比箱顶低h＝0.4m，问水箱运动的直线加速度多大时，水将溢出水箱?
已已知知：：l=2.0m，h=0.4m。
解解析析：：建立坐标系如图所示，水箱中水所受单位质量力分别为 fx??a， fy?0， fz??g
代入等压面微分方程(2－13)式，积分后得等压面方程为
ax?gz?C
由边界条件：当x?0时，z?0，得C?0。将x??l，z?h代入上式得加速度为
a??12z2gh2?9.81?0.4g???3.924m/s2 xl2.02－25 一盛水的矩形敞口容器，沿α＝30°的斜面向上作加速度运动，加速度a＝2m/s2，求液面与壁面的夹角θ。
已已知知：：a＝2m/s2，α＝30°。
解解析析：：建立坐标系如图所示，容器中水所受单位质量力分别为 fx??ax??acos???2.0?cos30??1.732m/s
?2fz??az?g??asin??g??2.0?sin30??9.81??10.81m/s2
质量力的作用线与铅直线的夹角为
??tg?1fx1.732?tg－1?9.1? fz10.81由于质量力与自由液面(等压面)处处正交，所以，由图可得液面与壁面的夹角θ为
??90?????90?30?9.1?50.9
2－26 图示为一圆筒形容器，半径R=150mm，高H=500mm，盛水深h=250mm。今以角速度ω绕z轴旋转，试求容器底开始露出时的转速。
?????已已知知：：R=150mm，H=500mm，h=250mm。
解解析析：：建立圆柱坐标系，坐标原点取在容器底部中心处。等压面微分方程为
?2rdr?gdz?0
积分上式得
122?r?gz?C 2在自由表面上，当r＝0时，z＝0，则积分常数C＝0。于是得自由液面方程为
122?rs－gzs?0 212gzs rs于是 ??容器上缘处坐标为：r＝R＝0.15m，z＝H＝0.5m，代入上式，得
??12?9.81?0.5?20.88rad/s 0.1560?60?20.88??199.5r/min 2?2?3.14则容器底开始露出时的转速为
n?2－27 圆柱形容器的半径R＝15cm，高H＝50cm，盛水深h＝30cm。若容器以等角速度ω绕z轴旋转，试求ω最大为多少时才不致使水从容器中溢出？
已已知知：：R=15cm，H=50cm，h=30cm。
解解析析：：建立圆柱坐标系，坐标原点取在旋转抛物面顶点上。 等压面微分方程为 ?rdr?gdz?0 积分上式得
2122?r?gz?C 2在自由表面上，当r＝0时，z＝0，则积分常数C＝0。 于是得到自由液面方程为 zs??2rs22g
由于容器旋转后，水面最高点正好达到容器上缘，故没有水溢出。所以抛物体的空间体积应等于原静止时水面上部容器空间的体积。抛物体空间的体积为
V1???rdzs???rd(00R2sR2s?2rs22g4)???r0R2s?22g2rsdrs
???g2?R0rs3drs???R4g2静止时容器上部空间的体积为 V2??R(H?h) 因为V1＝V2，于是
2??2R44g??R2(H?h)
所以
??22g(H?h)??9.81?(0.5?0.3)?18.68rad/s R0.152－28 一封闭容器，直径D＝0.6m，高H＝0.5m，内装水深至h＝0.4m，上部装比重S＝0.8的油。封闭容器的上盖中心有一小孔，当容器绕z轴旋转时，使油水分界面下降至底部中心，试求：(1)这时的旋转角速度；(2)a、b、c、d各点的压力(用mH2O表示)；(3)液体作用在容器底和顶盖上的力。
已已知知：：D=0.6m，H=0.5m，h=0.4m，S=0.8。
解解析析：：(1) 建立圆柱坐标系，坐标原点取在容器底部中心处。等压面微分方程为 ?rdr?gdz?0 积分上式得
2122?r?gz?C 2在油水分界面上，当r＝0时，z＝0，则积分常数C＝0。于是油水分界面方程为
122?r－gz?0 2那么，在顶盖上的油水分界点r?r0、z?H处，有 ??1r02gH ①
又知容器中水面以上油的体积为 V?容器旋转后，抛物体的体积为 V??1?D2(H?h) 44g
??2r04由 V?V?，得 r0?4联立①式和②式，得
D2g(H?h)?2 ②
??2gHDg(H?h)2?2?9.81?0.50.6?9.81?(0.5?0.4)2?16.5rad/s
r0?4D2g(H?h)?2220.6?9.81?(0.5?0.4)?4?0.19m 216.5压力微分方程为 dp??(?rdr?gdz) 积分上式，得相对压力分布式为
p??(?2r22?gz)?C
由边界条件：r=0，z=0时，p??油H，得C??油H。则
p??(?2r22?gz)??油H??(?2r22g?z)??油H
那么，水的相对压力分布式为
p??水(?2r22?gz)??油H??水(?2r22g?z)??油H ③
油的相对压力分布式为
p???油(?2r22?gz)??油H??油(?2r22g?z)??油H ④
(2) 由水静力学基本方程(2－17)及上述③式，得a、b、c、d各点的相对压力分别为 pa?0
pb??油H?0.8?9810?0.5?3924Pa?0.4mH2O
16.52?0.32pd??水??油H??9810?0.8?9810?0.5 2g2?9.81?16175Pa?1.65mH2O pc?pd??水H?16175?9810?0.5?11270Pa?1.15mH2O
(3) 将上述③、④两式对容器顶盖面积积分，注意到z?H，得液体作用在顶盖上的力为
?2R2??H2?rdr??pz?H2?rdrF1??pz0r0r0R??
r0?2r2?油2g4g02?rdr??[?水(r0440R?2r22g?H)??油H]2?rdr???2?水?油4(R?r?r0)??H(?水??油)(R2?r02)
?水3.14?16.52?103??(0.34?0.194?0.8?0.194)4?3.14?0.5?9810?(1?0.8)(0.32?0.192)?1510N将上述③式对容器底面积积分，注意到z?0，得液体作用在容器底上的力为
F2??pz?H2?rdr??(0024RR?2r22g?水??油H)2?rdr???2R4?水4g???油HR2
?3.14?16.5?0.3?1000?3.14?0.8?981?00.5?0.32?2840N4