(鲁京津琼专用)2020版高考数学大一轮复习-8.2空间点、直线、平面之间的位置关系教案(含解析)

解析 还原成正四面体A-DEF,其中H与N重合,A,B,C三点重合. 易知GH与EF异面,BD与MN异面.

连接GM,∵△GMH为等边三角形, ∴GH与MN成60°角,

易证DE⊥AF,又MN∥AF,∴MN⊥DE. 因此正确命题的序号是②③④.

11.如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.

(1)求证:直线EF与BD是异面直线;

(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.

(1)证明 假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线

EF与BD是异面直线.

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(2)解 取CD的中点G,连接EG,FG,则AC∥FG,EG∥BD,

所以相交直线EF与EG所成的角, 即为异面直线EF与BD所成的角. 又因为AC⊥BD,则FG⊥EG. 在Rt△EGF中,由EG=FG 1

=AC,求得∠FEG=45°, 2

即异面直线EF与BD所成的角为45°.

π

12.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC2=23,PA=2.求:

(1)三棱锥P-ABC的体积;

(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.

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111

解 (1)S△ABC=×2×23=23,三棱锥P-ABC的体积为V=S△ABC·PA=×23×2=

23343

. 3

(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则ED∥BC,

所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.在△ADE中,DE=2,AE=2,AD=2,

AD2+DE2-AE222+22-23

cos∠ADE===. 2×AD×DE2×2×24

3

故异面直线BC与AD所成角的余弦值为. 4

13.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )

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A.

32312B.2C.3D.3

答案 A

解析 如图所示,设平面CB1D1∩平面ABCD=m1,

∵α∥平面CB1D1,则m1∥m, 又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1, 平面CB1D1∩平面A1B1C1D1 =B1D1,∴B1D1∥m1, ∴B1D1∥m,同理可得CD1∥n.

故m,n所成角的大小与B1D1,CD1所成角的大小相等,即∠CD1B1的大小.又∵B1C=B1D1=CD1(均为面对角线), ∴∠CDBπ11=3,

得sin∠CD1B1=

3

2

,故选A. 14.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:

28

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