又A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F四点共面． (2)∵EF∥CD1，EF 则由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点． 思维升华共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证两平面重合． (2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上． (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 跟踪训练1如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. 9 (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．证明 (1)∵E，F分别为AB，AD的中点， ∴EF∥BD. ∵在△BCD中，BGDH1 GC＝HC＝2 ， ∴GH∥BD，∴EF∥GH. ∴E，F，G，H四点共面． (2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC， ∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC. ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点． 又平面ABC∩平面ADC＝AC， ∴P∈AC，∴P，A，C三点共线． 10 题型二 判断空间两直线的位置关系 例2(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 答案 D 解析 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．故选D. (2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是( ) A．相交但不垂直 11 B．相交且垂直 C．异面 D．平行 答案 D 解析 连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E＝2ED，可得M为AD的中点， 连接BF并延长，交AD于点N，因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以 ME1MF1MEMFEF和BD1共面，且＝，＝，所以＝，所以EF∥BD1. ED12BF2ED1BF 思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．异面直线可采用直接法或反证法；平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决． 跟踪训练2(1)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A. (2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论： 12