大学物理课后习题答案详解

?3?10?2cos(4t??/6??/2) cos(4t?2?/3)

?3?10?2作两振动的旋转矢量图,如图所示. 由图得:合振动的振幅和初相分别为

A?(5?3)cm?2cm,???/3.

合振动方程为x?2?10?2题图5-27

cos(4t??/3)(SI)

(加题)3.一物体质量为0.25kg,在弹性力作用下作简谐振动,弹簧的劲度系数

J和动能0.02 J,求 (1) 振幅;(2) 动k?25N?m?1,如果起始振动时具有势能0.06

能恰等于势能时的位移;(3) 经过平衡位置时物体的速度. 解:(1) E?EK?Ep? (2)

12kA=0.08 A?22?0.08?0.08m 25121kx?mv2 ; k?m?2 ?m?2x2?m?2A2sin2(?t??) 222222222 x?Asin(?t??)?A[1?cos(?t??)]?A?x

2x2?A2,?x??A/2??0.0566m

(3) 过平衡点时,x?0,此时动能等于总能量

E?EK?Ep?1mv2=0.08 A?22?0.08?0.8m/s

0.25(加题)4. 一弹簧振子,弹簧的劲度系数为k=25N/m,当物体以初动能0.2J和初势能0.6J振动时,求: (1) 振幅是多大? (2) 位移多大时,其势能和动能相等? (3) 位移是振幅的一半时,势能是多大?

解: (1) 弹簧振子的总机械能为E?Ek?Ep?2(Ek?Ep)12kA,故A??0.253m 2k (2) Ep?Ek?21111A??0.179m E?kA2 kx2?kA2 x??22424121A2?0.20J (3) Ep?kx?k224波动部分:习题4.7、4.8、4.10

习题4.7有一平面简谐波在介质中传播,波速u = 100 m/s,波线上右侧距波源O(坐标原点)为75.0 m处的一点P的运动方程为

习题4.7图

yp?(0.30m)cos[(2?s?1)t??/2]。求(1)波向x轴正方向传播时的波动方程;(2)

波向x轴负方向传播时的波动方程。

解:(1)设以波源为原点O,沿x轴正向传播的波动方程为 y?Acos???t?xu???0?

将 u = 100 m?s?1代人,且取x = 75 m得点P的运动方程为 yP?Acos???t?0.75s???0?

与题意中点P的运动方程比较可得 A = 0.30 m、??2?s?1、?0?2?。则所求波动方程为

y?(0.30m)cos[(2?s?1)(t?x/100m?s?1)]

(2)当沿x轴负向传播时,波动方程为 y?Acos???t?xu???0?

将 x = 75 m、u?100ms?1代人后,与题给点P的运动方程比较得A = 0.30 m、??2?s?1、?0???,则所求波动方程为

?1?1 y?(0.30m)cos[(2?s)(t?x/100m?s)??]

讨论:对于平面简谐波来说,如果已知波线上一点的运动方程,求另外一点的运动方程,也可用下述方法来处理:波的传播是振动状态的传播,波线上各点(包括原点)都是重复波源质点的振动状态,只是初相位不同而已。在已知某点

???0?2??x/?初相?0的前提下,根据两点间的相位差????0,即可确定未知点的

?初相?0。

1习题4.8已知一沿x正方向传播的平面余弦波,t?s时的波形如题图所示,

3且周期T为2s.

(1)写出O点的振动表达式; (2)写出该波的波动表达式; (3)写出A点的振动表达式; (4)写出A点离O点的距离。

习题4.8图

解:由图可知A=0.1m,λ=0.4m,由题知T= 2s,ω=2π/T=π,而u=λ/T=0.2m/s。 波动方程为:y=0.1cos[π(t-x/0.2)+Ф0]m 关键在于确定O点的初始相位。 (1) 由上式可知:O点的相位也可写成:φ=πt+Ф0

1由图形可知: t?s时y0=-A/2,v0<0,∴此时的φ=2π/3,

32?1?将此条件代入,所以:????0 所以?0?

333O点的振动表达式y=0.1cos[πt+π/3]m

(2)波动方程为:y=0.1cos[π(t-x/0.2)+π/3]m (3)A点的振动表达式确定方法与O点相似由上式可知:

A点的相位也可写成:φ=πt+ФA0

1由图形可知: t?s时y0=0,v0>0,∴此时的φ=-π/2,

3?15?将此条件代入,所以:?????A0 所以?A0??

236A点的振动表达式y=0.1cos[πt-5π/6]m

(4)将A点的坐标代入波动方程,可得到A的振动方程,与(3)结果相同,所以: y=0.1cos[π(t-x/0.2)+π/3]= 0.1cos[πt-5π/6]

可得到:xA?7?0.233m 30习题4.10 一平面简谐波以速度u?0.8m/s沿x轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出:

(1)原点的振动表达式; (2)波动表达式;

(3)同一时刻相距1m的两点之间的位相差。

解:(1) 由图可知A=0.5cm,原点处的振动方程为:y=Acos(ωt+φ) t=0s时 y=A/2 v>0 可知其相位为φ=?习题4.10图

? 3 t=1s时 y=0 v<0 可知其相位为φ1=

? 2 代入振动方程, φ=??? ω+φ= 32可得:ω=

5? T=2π/ω=12/5 65??t-)cm 635?5x?(t+)-]cm 643 则 y=0.5cos(

(2)沿x轴负方向传播,波动表达式:y=0.5cos[(3)根据已知的T=12/5,u?0.8m/s,可知:??48m 25?x25那么同一时刻相距1m的两点之间的位相差:???2????3.27rad

?24

(加题)1.如图,一平面波在介质中以波速u?20m/s沿x轴负方向传播,已知A点的振动方程为y?3?10?2cos4?t(SI).

u

B A 1题图

(1)以A点为坐标原点写出波方程;

(2)以距A点5m处的B点为坐标原点,写出波方程. 解:(1)坐标为x处质点的振动相位为

?t???4?[t?(x/u)]?4?[t?(x/20)] 波的表达式为 y?3?10?2cos4?[t?(x/20)](SI)

(2)以B点为坐标原点,则坐标为x点的振动相位为 ?t??'?4?[t?波的表达式为 y?3?10?2x?5](SI) 20x?5??cos4??t??

20?? y?3?10?2cos[4?(t?x)??](SI) 20(加题)2. 一平面谐波沿ox轴的负方向传播,波长为λ,P点处质点的振动规律如题图6-10所示.求:

(1)P点处质点的振动方程; (2)此波的波动方程;

(3)若图中d??/2,求O点处质点的振动方程.

分析 首先由已知振动规律结合旋转矢量图可得P点振动的初相与周期,从而得到其振动方程。波动方程则由P与原点的距离直接得到。波动方程中直接代入某点的坐标就可求出该点的振动方程。

解:(1)从图中可见T?4s,且t?0,ypo??A,??0??,则P点处质点的振动方程为

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