20.（本题12分）某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到
的频率分布表如图所示.
组号分组频数频率第1组 5 0.05 00.35 0② 第2组第3组第4组 ①3020 0.20 00.10 0 1.00 第5组合计
10 100
（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题卷上完成下列频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二
轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一
名学生被考官A面试的概率？
21．（本题12分）已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足
cos2B?cos2C?sin2A??sinAsinB,sin?A?B??cos?A?B?.
（1）求角A,B,C； （2）若a?
22．（本题12分）已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?1?Sn?（Ⅰ）证明：数列?2，求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积.
n?1，且a1?1. ?an（n?N*）
3n?an??是等比数列； ?n?（Ⅱ）求数列?an?的前n项和Sn. 参考答案
一选择题1．A2．D3．A4．C 5．A6．B 7．C 8．A 9．A10．D11．D12．D 9.【解析】由DM?CM?0知M为CD的中点，BM?BC?CM?AD?211??AB?BM?AB??AD?AB??AB?AD?AB??2?2??4，故选A.
22??1AB， 21?210?1023，应选答案D。 10由题设a1?1,4a2?4a1?a3?q?2，所以S10?1?211设矢为x ，那么代入弧田弧公式
71?6x?x2 ，解得：x?1 ，设圆的半径为R ,那么根据弦心距，半22??52?52?627?径和半个弦长得到关系式为R??R?1??3 ，解得：R?5 ，cos?AOB?,故选D.
2?5?52522212f?x??sin2?111?cos?x111x?sin?x???sin?x???sin?x?cos?x? 2222222?2???sin??x??， 24??函数f?x?在区间??,2??内没有零点,则周期T?2?，即
2???2?，??1，x???,2??时，
?x??1k5?4，k?Z，解得k?????（k?Z），因为?????,2????，所以{4?44??4282?????k?1??4????????k?15?151?10???1，当k?0时，???，当k??1时，0???，所以???0,???,?，故选D．
48?488?8二填空题13．4014．20185．2?316．
?3,27??
a2?c2?b21??，又因为B??0,??，可知B?。又b?3，由正弦定理可得，16.由题意得cosB?2ac23?2??2a?c?4sinA?2sinC?4sinA?2sin??A?=5sinA?3cosA=27sin?A???,（其中
?3?sin??35?2?），A??0,,cos???32727??。所以2a?c???3,27??。填
?3,27??。
三 解答题 17．（1）x?100??12?17?17?8?8?12?100；
7y?100??6?9?8?4?4?1?699425022?100?S数学==142?S物理=777， ； ，
，所以物理成绩更稳定．
从而
22S数学?S物理（2）由于x与y之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到
??497?0.5,a??100?0.5?100?50b994，?线性回归方程为y?0.5x?50．
当y?115时，x?130． 18．（1）f(x)?2sin(2x?因为，x?[0,?6)?a?1
?6]时，f(x)的最小值为2，所以，a?2?2,a?0.
x?[k???,k??],k?z
36?（2）g(x)?2sin(4x????1)?1 由g(x)?2sin(4x?)?1?2,sin(4x?)?， 6662x1??12,x2??4,. x1?x2??12??4??3
245219（1）设数列?an?的公比为q，a3?9a2a6?a1q?9a1qa1q?q2?1 9又数列?an?的各项均为正数，故q?0，∴q?11，又∵2a1?3a2?1，∴2a1?3a1??1， 33解得a1?11，∴数列?an?的通项公式为an?n.
33（2）由（1）知，log3an??n，
bn?log3a1?log3a2??log3an??n?n?1?2，∴
12??2?????， bn?nn?1?1?2n1????1 ??21??????????n?1?n?1??nn?1??Sn?11??b1b2???1??11?1??2??1???????bn??2??23?20．（1）由题可知， 第2组的频数为
人, 第3组的频率为
频率分布直方图如下:
（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以
利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:
第3组:人, 第4组:人, 第5组:人,
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人. （3）设第3组的3位同学为
,第4组的2位同学为
,第5组的1位同学为
则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:
其中第4组的2位同学为
至少有一位同学入选的有:
9中可能, 所以其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的概率为
21．（1） 因为A,B均为锐角，sin?A?B??cos?A?B?,
?sinAcosB?cosAsinB?cosAcosB?sinAsinB,
?sinA?cosB?sinB??cosA?cosB?sinB?
B为锐角，?cosB?sinB?0,?sinA?cosA,则A的大小为
?4， 在?ABC中,cos2B?cos2C?sin2A??sinAsinB,
,
,