陕西省商洛市2017年高考数学一模试卷(文科)Word版含解析

A2,A3,PM2.5的24小时平均浓度在(75,100)内的两天记为B1,B2.

所以5天任取2天的情况有:A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2共10种. ? 其中符合条件的有:A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2共6种. ? 所以所求的概率P=

. ?(8分)

(Ⅱ)去年该居民区PM2.5年平均浓度为:12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5(微克/立方米).?(10分)

因为42.5>35,所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的环境需要改进. ?(12分)

【点评】本题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识,考查必然与或然思想等.

19.(12分)(2017?西安一模)如图<1>:在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=6,CE⊥AD于E点,把△DEC沿CE折到D′EC的位置,使D′A=2分别为D′B,D′E的中点. (Ⅰ)求证:GH⊥D′A;

(Ⅱ)求三棱锥C﹣D′BE的体积.

,如图<2>:若G,H

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系.

【分析】(Ⅰ)通过证明:AD′⊥AE,AD′⊥AC,推出AD′⊥平面ABCD,推出AD′⊥BE,通过证明GH∥BE,推出GH⊥D′A;

(Ⅱ)三棱锥C﹣D′BE的体积.直接利用棱锥的体积公式求解即可.

【解答】解:(Ⅰ)证明:在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=6,CE⊥AD于E点,把△DEC沿CE折到D′EC的位置,使D′A=2形AED′中,

可得ED′2=AE2+AD′2,可得AD′⊥AE,DC=

=2

,ED=4,连结BE,GH,在三角

AC=2,可得AC2+AD′2=CD′2,可得AD′⊥AC,

因为AE∩AC=A,

所以AD′⊥平面ABCD,可得AD′⊥BE,G,H分别为D′B,D′E的中点,可得GH∥BE, 所以GH⊥D′A.

(Ⅱ)三棱锥C﹣D′BE的体积为V. 则V=

=

=

【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定,棱锥的体积,其中(Ⅰ)的关键是熟练

掌握面面垂直,线面垂直及线线垂直的相互转化,(Ⅱ)的关键是判断出棱锥的高和底面面积.

20.(12分)(2017?西安一模)如图已知椭圆C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆T与椭圆C交于点M,N. (1)求椭圆C的方程; (2)求

?

的最小值,并求此时圆T的方程.

【考点】直线与椭圆的位置关系.

【分析】(1)运用椭圆的离心率公式和顶点坐标,结合a,b,c的关系,可得椭圆方程; (2)设M(m,n),由对称性可得N(m,﹣n),代入椭圆方程,再由向量数量积的坐标表示,转化为关于m的二次函数,配方,结合椭圆的范围,可得最小值,进而得到M的坐标,可得圆

的方程.

【解答】解:(1)由题意可得e==可得a=2,c=则椭圆方程为

,b=+y2=1;

=1,

,椭圆的左顶点T(﹣2,0),

(2)设M(m,n),由对称性可得N(m,﹣n), 即有则

?

+n2=1,

=(m+2,n)?(m+2,﹣n)=(m+2)2﹣n2=(m+2)2﹣1+

=m2+4m+3

=(m+)2﹣,

由﹣2≤m≤2,可得m=﹣时,此时n2=

. ?

的最小值为﹣,

即有r2=(m+2)2+n2=

可得圆T的方程(x+2)2+y2=

【点评】本题考查椭圆方程的求法,注意运用离心率公式,考查向量数量积的最小值,注意运用二次函数的最值求法和椭圆的性质,考查化简整理的运算能力,属于中档题.

21.(12分)(2017?西安一模)已知f(x)=﹣x2﹣3,g(x)=2xlnx﹣ax且函数f(x)与g(x)在x=1处的切线平行.

(Ⅰ)求函数g(x)在(1,g(1))处的切线方程;

(Ⅱ)当x∈(0,+∞)时,g(x)﹣f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,求出a的值,从而求出切线方程即可;

(Ⅱ)先把已知等式转化为a≤x+2lnx+,设g(x)=x+2lnx+,x∈(0,+∞),对函数进行求导,利用导函数的单调性求得函数的最小值,只要a小于或等于最小值即可. 【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=﹣2x, 故k=f′(1)=﹣2,

而g′(x)=2(lnx+1)﹣a,故g′(1)=2﹣a,

故2﹣a=﹣2,解得:a=4, 故g(1)=﹣a=﹣4,

故g(x)的切线方程是:y+4=﹣2(x﹣1), 即2x+y+2=0;

(Ⅱ)当x∈(0,+∞)时,g(x)﹣f(x)≥0恒成立, 等价于a≤x+2lnx+,

令g(x)=x+2lnx+,x∈(0,+∞), g′(x)=1+﹣

=

当0<x<1时,g′(x)<0,g(x)单调减, 当x=1时,g′(x)=0,

当x>1时,g′(x)>0,g(x)单调增, ∴g(x)min=g(1)=4, ∴a≤4.

【点评】本题主要考查了利用导函数求最值的问题.考查了学生对函数基础知识的理解和灵活运用.

[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]

22.(10分)(2017?西安一模)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ,它在点的切线为直线l.

(1)求直线l的直角坐标方程; (2)已知点P为椭圆

=1上一点,求点P到直线l的距离的取值范围.

【考点】直线与椭圆的位置关系;简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】(1)利用极坐标方程与普通方程的互化求解即可.

(2)设出椭圆的参数方程,利用点到直线的距离公式化简求解即可. 【解答】(本小题满分10分)

解:(1)∵曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ,

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