I I r dr S 1m S dS 1m 2R 2R 图11–26
图11–25
解：由安培环路定理，可求出圆柱体内、外区域与导体中心轴线相距为r处的磁感强度的大小
当r?R时，
IπR2??B1?dl?B12πr??0πr2
B1??0Ir2πR2(r?R)
当r?R时，
??B2?dl?B22πr??0I
?IB2?0(r?R)
2πr在平面S上，距轴r处，取宽为dr，长为l=1m的面积元dS=ldr=1?dr=dr，如图11-26
所示，则穿过面积元的磁通量为
d??B?dS?BdS?Bldr?Bdr
通过整个面积S的磁通量为
????Sd???SB?dS??BindS??BexdS
?0Irdr??0R2πR2??I?Idr?0?0ln2
R2πr4π2πO 2R?0I=1.0?10–6+1.4?10–6=2.4?10–6Wb
11–28 如图11-27所示，线圈均匀密绕在截面为矩形的整个木环上（木环的内外半径分别为R1，R2，厚度为h），共有N匝，求：（1）通入电流I后，环内外磁场的分布。（2）通过管截面的磁通量。
解：（1）根据右手螺旋法则，环管内磁感强度的方向与环管中心轴线构成同心圆，取半径为r的圆为积分环路，在环路上各点B的大小相等，方向沿环路切向。根据安培环路定理
当r?R1时，有
I I O′ R1 R2 ??B1?dl?B12πr?0
B1?0
h
当R1?r?R2时，有
134
图11–27
??B2?dl?B22?r??0NI
?NIB2?0
2πr当r?R2时，有
O ??B3?dl?B32πr?0
B3?0
?NI可见，在环外B=0，在环内，B?0。
2πr（2）在任意半径r处取宽为dr，高为h的条形面积元，如图11-28所示，穿过此面积元的磁能量为
I I O′ R1 R2 dr r h
2πr则通过环管全部截面的总磁通量为
d??B?dS?BdS?Bhdr??0NIhdr
??d????R1R2?0NI?NIhR2hdr?0ln 2πr2πR1图11–28
11–29 一无限长直载流导线，通过有电流50A，在离导线0.05m处有一电子以速率1.0?107m/s运动。已知电子电荷的数值为1.6?10–19C，求下列情况下作用在电子上的洛伦兹力：
（1）设电子的速度v平行于导线，如图11-29（a）； （2）设v垂直于导线并指向导线如图11-29（b）； （3）设v垂直于导线和电子所构成的平面。
v
I
I v （a）
图11–29
（b）
解：（1）电子所受的洛伦兹力F??e(v?B)的大小为 F?evBsin90? =evB=ev?0I2πr?1.6?10?194π?10?7?50?1.0?10?N=3.2?10–16N
2π?0.057若v与电流同向时，F的方向垂直导线并背离导线，如图11-30（a）；若v与电流反向时，F的方向垂直导线并指向导线。
（2）F?evBsin90?=3.2?10–16N
F的方向平行于导线，与电流同向，如图11-30（b）。
135
（3）因为v与B夹角为0或?，所以
F?evBsin0?0或F?evBsinπ?0
v I F （a）
I 图11–30
F v （b）
11–30 带电粒子在过饱和液体中运动，会留下一串气泡显示出粒子运动的径迹。设在气泡室有一质子垂直于磁场飞过，留下一个半径为3.5cm的圆弧径迹，测得磁感强度为0.20T，求此质子的动量和动能。
解：由带电粒子回转半径与粒子运动速率的关系
R?可得
mvP ?eBeBP?ReB?3.5?10?2?1.6?10?19?0.20=1.12?10–21kg?m/s p2(1.12?10?21)2J=3.76?10–16 J =2.35KeV Ek??2m2?1.67?10?2711–31 一质子以1.0?107m/s的速度射入磁感应强度B=1.5T的均匀磁场中，其速度方向与磁场方向成30?角。计算：（1）质子作螺旋运动的半径；（2）螺距；（3）旋转频率。
解：质子速度在垂直于B的方向的分量为
v??vsin?
质子速度在平行于B的方向的分量为
v//?vcos?
（1）质子作螺旋运动的半径为
mv?mvsin?1.67?10?27?1.0?107?sin30?R???m=3.48?10–2 m
eBeB1.6?10?19?1.5（2）螺旋线的螺距为
2πmv//2πmvcos?2?3.14?1.67?10?27?1.0?107?cos30?d???m=0.38m
?19eBeB1.6?10?1.5（3）旋转频率为
v?vsin?1.0?107?sin30?f???m=2.28?107 m
2πR2πR2?3.14?3.48?10?211–32 如图11-31所示，一铜片厚为d=1.0mm，放在B=1.5T的磁场中，磁场方向与铜片表面垂直。已知铜片中自由电子密度为8.4?1022个
136
cm3，每个电子的电荷为?e=
?1.6?10–19C，当铜片中有I=200A的电流流通时，求：（1）铜片两侧的电势差Vaa′；（2）铜片宽度b对Vaa′有无影响？为什么？
解：（1）Vaa′即霍尔电势差 Vaa??IB200?1.5?V nqd8.4?1022?106?(?1.6?10?19)?1.0?10?3B a
b
a′ 图11–31
I
= ?2.23?10–5V
负号表示a′侧电势高。
（2）铜片宽度b对Vaa′无影响。这是因为
Vaa??VH?EHb?vdBb
d
和铜片宽度b成正比，而在电流I一定的情况下，漂移速度vd?I又与宽度b成反比，因此铜片宽度b对Vaa′无影响。 nqbd11–33 如图11-32所示，任意形状的一段导线AB中通有从A到B的电流I，导线放在与均匀磁场B垂直的平面上，设A，B间直线距离为l，试证明导线AB所受的安培力等于从A到B载有同样电流的直导线（长为l）所受的安培力。
证明：方法一：在载流导线上任取一电流元Idl，该电流元在磁场中受力大小为dF=BIdl，方向如图11-33所示，设dF与竖直方向的夹角为?，它在x，y轴上的分量分别为
dFx??dFsin???BIdlsin???BIdy
l A 图11–32 I B
dFy?dFcos??BIdlcos??BIdx
于是，整根载流导线AB所受安培力的x分量为
Fx?dFx??BIdy??BIdy?0
yA0yB0???
安培力的y分量为
Fy?dFy?BIdx?BIdx=BIl xA0??xB?l因此，导线AB所受安培力的大小为
dFy dF y F?Fy?BIl
方向沿y轴正方向。
若在A，B间有一段直导线，同样的电流从A流到B，则该直线电流所受安培力F′的大小等于F′=BIl，方向也是沿y轴正方向。因此
F= F′
由此得证。
? dFx Idl ? I x B l A O 图11–33
方法二：建立如图11-33所示的坐标系，在载流导线上任取一电流元Idl，该电流元在磁场中所受安培力为
dF?Idl?B=I(dxi?dyj)?(?Bk)?IB(dxj?dyi)
整根载流导线在磁场中所受安培力为
F=?ABdF??ABIB(dxj?dyi)??0lIBjdx??0IBidy?IBlj
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