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解 由A?B?A?C，则有A?(A?B，)?A?(A?C)即
(AB)A?(AA)B?(AC)A?(AA)C
由于AB?AC，于是得到 (AA)B?(AA) C故 B?C
1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p?AX而P?A?X，p和P已知，试求X。
解 由P?A?X，有
A?P?A?(A?X)?(AX)A?(AA)X?pA?(AA)X
故得 X?pA?A?P
AA1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由(4,2?,3)定出，求该点在：（1）直角坐
3标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。
解 （1）在直角坐标系中 x?4cos?、(2?3)?、y2?4sin?(2?3)233 z?故该点的直角坐标为(?2,23,3)。
（2）在球坐标系中 r?42?32?5、??tan?1(43)?53.1、??2?3?120
故该点的球坐标为(5,53.1,120)
1.9 用球坐标表示的场E?er25，
r2（1）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处的E和Ex； （2）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处E与矢量B?ex2?ey2?ez构成的夹角。
解 （1）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r2?(?3)2?42?(?5)2?50，故
251E?er2?
r21?332
Ex?exE?Ecos?rx????25220（2）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r??ex3?ey4?ez5，所以
E?2525r?ex3?ey4?ez5 ?3?r2r102故E与B构成的夹角为 ?EB?cos?1(EB)?cos?1(?19(102))?153.6
EB321.10 球坐标中两个点(r1,?1,?1)和(r2,?2,?2)定出两个位置矢量R1和R2。证明R1和R2间夹角的余弦为
cos??cos?1cos?2?sin?1sin?2cos(?1??2)
解 由 R1?exr1sin?1cos?1?eyr1sin?1sin?1?ezr1cos?1
R2?exr2sin?2cos?2?eyr2sin?2sin?2?ezr2cos?2
得到 cos??R1R2? R1R2青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net
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sin?1cos?1sin?2cos?2?sin?1sin?1sin?2sin?2?cos?1cos?2?
sin?1sin?2(cos?1cos?2?1sin?1sin?2)?cos?1cos?2? sin?1sin?2cos(?1??2)?cos?1cos?2
1.11 一球面S的半径为5，球心在原点上，计算： 解 ?(er3sin?)dS??(er3sin?)erdS?SS2? ?(e3sin?)dS的值。
rS?22 d?3sin??5sin?d??75???001.12 在由r?5、z?0和z?4围成的圆柱形区域，对矢量A?err2?ez2z验
证散度定理。
解 在圆柱坐标系中 ?A?1?(rr2)??(2z)?3r?2
r?r?z42?5所以 ??Ad???dz?00?d??(r3?052?2r)rd? 001?2z又
?AdS??SS(err2?ez2z)e(rSd?S?d?ere?42?Sd?z )
??5002?5d?dz???2?4rdrd??1200?
00?0?故有 ??Ad??120??AdS
S1.13 求（1）矢量A?exx2?eyx2y2?ez24x2y2z3的散度；（2）求?A对中
心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。
222223?(x)?(xy)?(24xyz)解 （1）?A????2x?2x2y?72x2y2z2 ?x?y?z（2）?A对中心在原点的一个单位立方体的积分为
121212???Ad???12?12?12???(2x?2x2y?72x2y2z2)dxdydz?1 24 （3）A对此立方体表面的积分
?S11AdS???()2dydz???(?)2dydz?
22?12?12?12?12121212121212121211 ??2x2()2dxdz???2x2(?)2dxdz?
22?12?12?12?12111 ??24xy()3dxdy???24x2y2(?)3dxdy?
2224?12?12?12?1222121212121?AdS ?24S?1.14 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求?r对球体积的积分。
故有 ??Ad??2??2解 ?rdS??rerdS?SS?d??aa00sin?d??4?a3
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又在球坐标系中，?r?1?(r2r)?3，所以
r2?r2??a?rd?????3r??0002sin?drd?d??4?a3
1.15 求矢量A?exx?eyx?ezy2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回
路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求??A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。
222222解 ?Adl??xdx??xdx??2dy??0dy?8
C0000ex又 ??A???xxey??yx2ez??ex2yz?ez2x ?zy2z22所以 ???AdS???(ex2yz?ez2x)ezdxdy?8
S00故有
C?Adl?8????AdS
S2?1.16 求矢量A?exx?eyxy2沿圆周x2?y2?a2的线积分，再计算??A对此圆面积的积分。
4?a 解 ?Adl??xdx?xydy??(?acos?sin??acos?sin?)d??22422CC04?Ax?a4222 ??AdS??ez(?)ezdS??ydS???rsin?rd?dr??4?x?yS00SS1.17 证明：（1）?R?3；（2）??R?0；（3）?(AR)?A。其中R?exx?eyy?ezz，A为一常矢量。
?Aya2?解 （1）?R??x?y?z???3 ?x?y?zexeyez??（2） ??R???0
?x?y?zxyy（3）设A?exAx?eyAy?ezAz，则AR?Axx?Ayy?Azz，故
??(Axx?Ayy?Azz)?ey(Axx?Ayy?Azz)? ?x?y?ez(Axx?Ayy?Azz)?exAx?eyAy?ezAz?A ?z1.18 一径向矢量场F?erf(r)表示，如果?F?0，那么函数f(r)会有什么特点呢？
?(AR)?ex解 在圆柱坐标系中，由 ?F?1d[rf(r)]?0
rdr可得到
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C C为任意常数。 r在球坐标系中，由 ?F?1d[r2f(r)]?0
r2dr可得到 f(r)?C
r21.19 给定矢量函数E?exy?eyx，试求从点P到点P2(8,2,?1)的线1(2,1,?1)f(r)?积分Edl：（1）沿抛物线x?y2；（2）沿连接该两点的直线。这个E是保守?场吗？
解 （1） ?Edl??Exdx?Eydy??ydx?xdy?
CC2C2?yd(2y)?2y122dy??6y2dy?14
1（2）连接点P1(2,1,?1)到点P2(8,2,?1)直线方程为
x?2x?8? 即 x?6y?4?0 y?1y?2故
22C?Edl??ECxdx?Eydy??ydy(6?1?4)y?(6y?4)y?4)yd??(d121 14由此可见积分与路径无关，故是保守场。
1.20 求标量函数??x2yz的梯度及?在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量ex345定出；求(2,3,1)点的方向导数值。 ?ey?ez505050???解 ???ex(x2yz)?ey(x2yz)?ez(x2yz)?
?x?y?zex2xyz?eyx2z?ezx2y
345的方向导数?ey?ez505050故沿方向el?ex为
z22 ?????el?6xyz?4xz?5xy
?l505050点(2,3,1)处沿el的方向导数值为 ??361660112 ?????l505050501.21 试采用与推导直角坐标中?Ax?Ay?Az相似的方法推导圆柱坐标?A????x?y?z下的公式
r???r ?z r x
o ? ??
z y
题1.21图
?A?A1?(rAr)???z。 r?rr???z解 在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。矢量场A沿er方向穿出该六面体的表面的通量为
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