图9 北京和内蒙古1996-2002年消费对收入散点图 图10 1996和2002年15个地区的消费对收入散点图
2．面板数据模型分类
用面板数据建立的模型通常有3种，即混合回归模型、固定效应回归模型和随机效应回归模型。
2.1 混合回归模型（Pooled model）。 如果一个面板数据模型定义为， yit = ? + Xit '? +?it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T (1) 其中yit为被回归变量（标量），?表示截距项，Xit为k ?1阶回归变量列向量（包括k个回归量），?为k ?1阶回归系数列向量，?it为误差项（标量）。则称此模型为混合回归模型。混合回归模型的特点是无论对任何个体和截面，回归系数?和?都相同。
如果模型是正确设定的，解释变量与误差项不相关，即Cov(Xit,?it) = 0。那么无论是N??，还是T??，模型参数的混合最小二乘估计量（Pooled OLS）都是一致估计量。
2.2 固定效应回归模型（fixed effects regression model）。 固定效应模型分为3种类型，即个体固定效应回归模型、时点固定效应回归模型和个体时点双固定效应回归模型。下面分别介绍。
2.2.1个体固定效应回归模型（entity fixed effects regression model） 如果一个面板数据模型定义为，
yit = ?i + Xit '? +?it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T (3) 其中?i是随机变量，表示对于i个个体有i个不同的截距项，且其变化与Xit有关系；Xit为k ?1阶回归变量列向量（包括k个回归量），?为k ?1阶回归系数列向量，对于不同个体回归系数相同，yit为被回归变量（标量），?it为误差项（标量），则称此模型为个体固定效应回归模型。
个体固定效应模型（3）的强假定条件是，
E(?it??i, Xit) = 0, i = 1, 2, …, N
?i作为随机变量描述不同个体建立的模型间的差异。因为?i是不可观测的，且与可观测
的解释变量Xit的变化相联系，所以称（3）式为个体固定效应回归模型。 个体固定效应回归模型也可以表示为
yit = ?1 D1 + ?2 D2 + … +?N DN + Xit '? +?it, t = 1, 2, …, T (4) 其中
?1,如果属于第i个个体，i?1, 2, ..., N,Di =?
0,其他, ?注意：
（1）在EViews5.0输出结果中?i是以一个不变的常数部分和随个体变化的部分相加而成。（2）在EViews 5.0以上版本个体固定效应对话框中的回归因子选项中填不填c输出结果都会有固定常数项。
个体固定效应回归模型的估计方法有多种，首先设法除去?i的影响，从而保证?估计量的一致性。（详见第3节，面板数据模型估计方法。）
下面解释设定个体固定效应回归模型的原因。假定有面板数据模型 yit = ?0 + ?1 xit +?2 zi +?it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T (5) 其中?0为常数，不随时间、截面变化；zi表示随个体变化，但不随时间变化的难以观测的变
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量。
以案例1为例，省家庭平均人口数就是这样的一个变量。对于短期面板来说，这是一个基本不随时间变化的量，但是对于不同的省份，这个变量的值是不同的。
上述模型可以被解释为含有N个截距，即每个个体都对应一个不同截距的模型。令?i = ?0 +?2 zi，于是（5）式变为
yit = ?i + ?1 xit +?it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T (6) 这正是个体固定效应回归模型形式。对于每个个体回归函数的斜率相同（都是?1），截距?i却因个体不同而变化。可见个体固定效应回归模型中的截距项?i中包括了那些随个体变化，但不随时间变化的难以观测的变量的影响。?i是一个随机变量。因为zi是不随时间变化的量，所以当对个体固定效应回归模型中的变量进行差分时，可以剔除那些随个体变化，但不随时间变化的难以观测变量的影响，即剔出?i的影响。
以案例1（file:5panel02）为例得到的个体固定效应模型估计结果如下： 输出结果的方程形式是
? x1t = (515.6 - 36.3) + 0.70 x1t ?1t= ??安徽+? y1 (55.0)
?x2t = (515.6 + 537.6) + 0.70 x2t ?2t= ??北京+?y1。。。 (55.0)
?x15t = (515.6 + 198.6) + 0.70 x15t ?15t= ??浙江+? y1 (55.0)
R2 = 0.99, SSEr = 2270386, t0.05 (88) = 1.98
从结果看，北京、上海、浙江是自发消费（消费函数截距）最大的3个地区。
图11 EViwes5.1个体固定效应回归模型的估计结果
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2.2.2 时点固定效应回归模型（time fixed effects regression model） 如果一个面板数据模型定义为，
yit = ?t + Xit '? +?it, i = 1, 2, …, N (7) 其中?t是模型截距项，随机变量，表示对于T个截面有T个不同的截距项，且其变化与Xit有关系；yit为被回归变量（标量），?it为误差项（标量），满足通常假定条件。Xit为k ?1阶回归变量列向量（包括k个回归变量），?为k ?1阶回归系数列向量，则称此模型为时点固定效应回归模型。
时点固定效应回归模型也可以加入虚拟变量表示为 yit =?0 + ?1 W1 + ?2 W2 + … +? T WT + Xit '? +?it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T (8) 其中
Wt =??1, 如果属于第t个截面，t?1, 2, ..., T;
?0, 其他(不属于第t个截面)。设定时点固定效应回归模型的原因。假定有面板数据模型
yit = ?0 + ?1 xit +?2 zt +?it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T (9)
其中?0为常数，不随时间、截面变化；zt表示随不同截面（时点）变化，但不随个体变化的难以观测的变量。
以案例1为例，“全国零售物价指数”就是这样的一个变量。对于不同时点，这是一个变化的量，但是对于不同省份（个体），这是一个不变化的量。
上述模型可以被解释为含有T个截距，即每个截面都对应一个不同截距的模型。令?t = ?0 +?2 zt，于是（9）式变为
yit = ?t + ?1 xit +?it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T (10) 这正是时点固定效应回归模型形式。对于每个截面，回归函数的斜率相同（都是?1），?t却因截面（时点）不同而异。可见时点固定效应回归模型中的截距项?t包括了那些随不同截面（时点）变化，但不随个体变化的难以观测的变量的影响。?t是一个随机变量。
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以例1为例得到的时点固定效应模型估计结果见图11，代数式如下：
?xi1 = (2.6 + 105.9) + 0.7789 xi1 , t = 1996 ?0 +??1996 +??i1=? y1 (0.04) (74.6)
?xi2 = (2.6 + 134.1) + 0.7789 xi2 , t = 1997 ?0 +??1997 +??i2=?y1 (0.04) (74.6) …
?xi7 = (2.6 - 93.9) + 0.7789 xi7 , t = 2002 ?0 +??2002 +??i7=? y1 (0.04) (74.6)
R2 = 0.9867, SSEr = 4028843, t0.05 (97) = 1.98
2.2.3 个体时点固定效应回归模型（time and entity fixed effects regression model） 如果一个面板数据模型定义为，
yit = ?0 +?i +?t + Xit '? +?it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T (11) 其中yit为被回归变量（标量）；?i是随机变量，表示对于N个个体有N个不同的截距项，且其变化与Xit有关系；?t是随机变量，表示对于T个截面（时点）有T个不同的截距项，且其变化与Xit有关系；Xit为k ?1阶回归变量列向量（包括k个回归量）；?为k ?1阶回归系数列向量；?it为误差项（标量）满足通常假定(?it ?Xit, ?i, ?t) = 0；则称此模型为个体时点固定效应回归模型。
个体时点固定效应回归模型还可以表示为，
yit = ?0 +?1 D1+?2 D2 +…+?N DN + ?1W1+ ?2W2 +…+? TWT + Xit '? +?it, (12) 其中
Di =??1,如果属于第i个个体，i?1,2, ..., N, (13)
?0,其他,?1, 如果属于第t个截面，t?1,2,...,T; (14)
0, 其他(不属于第t个截面)。 ?Wt =?如果模型形式是正确设定的，并且满足模型通常的假定条件，对模型（12）进行混合
OLS估计，全部参数估计量都是不一致的。正如个体固定效应回归模型可以得到一致的、甚至有效的估计量一样，一些计算方法也可以使个体时点双固定效应回归模型得到更有效的参数估计量。
以例1为例得到的截面、时点固定效应模型估计结果如下：
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