的质量为m，离地面高度为h，有：GMm2?2?m()(R?h) 2(R?h)T在地球表面上，质量为m0的物体，受地球的万有引力等于物体的重力，有：GMm0?mg 2R 得 GM?Rg 由（1）（2）式可得 R?3742R2gT2?h 24?
代入数据得R?3.6?10m?3.6?10km（能说明差2个数量级即可）
53.1997年8月26日在日本举行的国际学术大会上，德国Max Plank学会的一个研究组宣布了他们的研究结果：银河系的中心可能存在一个大“黑洞”，“黑洞”是某些天体的最后演变结果。
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（1）根据长期观测发现，距离某“黑洞”6.0×10m的另一个星体（设其质量为m2）以
6
2×10m/s的速度绕“黑洞”旋转，求该“黑洞”的质量m1。（结果要求两位有效数字） （2）根据天体物理学知识，物体从某天体上的逃逸速度公式为v?－11
2
－2
2Gm1，其中引力R常量G=6.67×10N·m·kg，M为天体质量，R为天体半径，且已知逃逸的速度大于真空中光速的天体叫“黑洞”。请估算（1）中“黑洞”的可能最大半径。（结果只要求一位有效数字）
Gm1m2v2rv2?m2?3.6?1035kg (4分) 解：（1） (3分) ∴m1?2Grr（2）∵
2Gm12Gm1?C (3分) ∴R? 2RC∴Rm?2Gm18?5?10m(4分) 2C 54.设想宇航员完成了对火星表面的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，如图所示。为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度。已知返回舱返回过程中需克服火星的引力做功
RW?mgR(1?)，返回舱与人的总质量为m，火星表面的重力加速
r度为g ，火星的半径为R，轨道舱到火星中心的距离为r，不计火星表面大气对返回舱的阻力和火星自转的影响，则该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量才能返回轨道舱？
解：返回舱与人在火星表面附近有：GMm?mg （2分） 2R
Mm0v2设轨道舱的质量为m0，速度大小为v，则：G2?m0 （2分）
rr12mgR2解得宇航员乘坐返回舱与轨道舱对接时，具有的动能为Ek?mv? （2分）
22r
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因为返回舱返回过程克服引力做功W?mgR(1?R) rR) （4分） 2r所以返回舱返回时至少需要能量E?Ek?W?mgR(1?
55.2004年，我国现代版的“嫦娥奔月”正式开演，力争2006年12月正式发射。媒体曾报道从卫星图片和美、苏（原苏联）两国勘测结果证明，在月球的永暗面存在着大量常年以固态形式蕴藏的水冰。
但根据天文观测，月球半径为R=1738km，月球表面的重力加速度约为地球表面的重力加速度的1/6，月球表面在阳光照射下的温度可达127℃，此时水蒸气分子的平均速度达到
2
v0=2000m/s。试分析月球表面没有水的原因。（取地球表面的重力加速度g=9.8m/s）（要求至少两种方法）
解法1：假定月球表面有水，则这些水在127℃时达到的平均速度v0=2000m/s必须小于月球表面的第一宇宙速度，否则这些水将不会降落回月球表面，导致月球表面无水。取质量
222
为m的某水分子，因为GMm/R=mv1/R，mg月=GMm/R2，g月=g/6，所以代入数据解得v1=1700m/s，v1＜v0，即这些水分子会象卫星一样绕月球转动而不落到月球表面，使月球表面无水。 解法2：设v0=2000m/s为月球的第一宇宙速度，计算水分子绕月球的运行半径R1，如果R1＞R，则月球表面无水。取质量为m的某水分子，因为GMm/R12=mv02/R12，mg月=GMm/R12，g月
26
=g/6，所以R1=v0/g月=2.449×10m，R1＞R，即以2000m/s的速度运行的水分子不在月球表面，也即月球表面无水。
解法3：假定月球表面有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月球表面所受到的向心力，即应满足：mg月＞GMm/R2，当v=v0=2000m/s时，g月＞v02/R=2.30m/s2，
2
而现在月球表面的重力加速度仅为g/6=1.63m/s，所以水分子在月球表面所受的重力不足以提供2000m/s所对应的向心力，也即月球表面无水。
解法4：假定有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月球表面
2
所受到的向心力，即应满足：mg月＞GMm/R2，，即应有g月R＞v而实际上：g月R=2.84×106m2/s2，v02=4×106m2/s2，所以v02＞g月R即以2000m/s的速度运行的水分子不能存在于月球表面，也即月球表面无水。
56.物体沿质量为M、半径为R星球的表面做匀速圆周运动所需的速度v1叫做该星球第一宇宙速度；只要物体在该星球表面具有足够大的速度v2，就可以脱离该星球的万有引力而飞离星球（即到达到距星球无穷远处），这个速度叫做该星球第二宇宙速度。理论上可以证明
v2?2v1。一旦该星球第二宇宙速度的大小超过了光速C=3.0×108m，则该星球上的任
何物体（包括光子）都无法摆脱该星球的引力，于是它就将与外界断绝了一切物质和信息的交流。从宇宙的其他部分看来，它就像是消失了一样，这就是所谓的“黑洞”。
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试分析一颗质量为M=2.0×10kg的恒星，当它的半径坍塌为多大时就会成为一个“黑
-1122
洞”？（计算时取引力常量G=6.7×10N?m/kg，答案保留一位有效数字．）
GMmv12?m 又知 v2?2v1 令 v2=C 解：2RR2GM2?6.7?10?11?2.0?10314 由以上三式得R???3?10m 282C(3.0?10) 18
57.在美英联军发动的对伊拉克的战争中，美国使用了先进的侦察卫星.据报道，美国有多颗最先进的KH－1、KH－2“锁眼”系列照相侦察卫星可以通过西亚地区上空，“锁眼”系列照相侦察卫星绕地球沿椭圆轨道运动，近地点为265 km（指卫星与地面的最近距离），远
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地点为650 km（指卫星与地面的最远距离），质量为13.6×10kg～18.2×10kg。这些照相侦察卫星上装有先进的CCD数字照相机，能够分辨出地面上0.l m大小的目标，并自动地将照片传给地面接收站及指挥中心。
由开普勒定律知道：如果卫星绕地球做圆周运动的圆轨道半径与椭圆轨道的半长轴相等，那么卫星沿圆轨道的周期就与其沿椭圆轨道运动的周期相等。请你由上述数据估算这些“锁眼”系列照相侦察卫星绕地球运动的周期和卫星在远地点处的运动速率。地球的半径 R=6 400 km，g取10 m/s2。（保留两位有效数字）
解：设远地点距地面hl，近地点距地面h2，根据题意可知，卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r?(h1?h2?2R)?6857.5km ① （6分）
2设卫星绕地球运动的周期为T，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有
2?Mm2 ② （2分）又 ③ （2分） ?mr???2rTMm物体在地球表面的重力等于万有引力，则G2?mg④ （2分）
RG由②③④式可得T?2??rRr3 （2分）代入数据可得T?5.6?10s （2分） gGMmv2 远在点到地面h1，设卫星在远在点的速率为v 则＝m ⑤ 2(R?h1)R?h1 ④、⑤联立得 v?Rg代入数据得 v＝ 7.6 km/s
R?h1 59.一个Internet网站报道，最近南亚某国发射了一颗人造环月卫星，卫星的质量为1000kg，环绕月球周期为60min.张明同学对该新闻的真实性感到怀疑.他认为该国的航天技术不可能近期发射出环月卫星；该网站公布的数据似乎也有问题.他准备对该数据进行验证.但他记不清万有引力恒量的数值，且手边又没有资料可查找，只记得月球半径约为地球半径
6
的1/4，地球半径约为6.4×10m，月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的1/6，
2
地球表面重力加速度取10m/s.
假定将环月卫星的运动视为匀速圆周运动，请根据上述数据判断该报道的真伪，并写出推导判断的过程（6?2.5,??3）
解：设卫星绕月球表面运行周期为T1，卫星绕地球表面运行周期为T2，月球和地球表面重力加速度分别为g1和g2，月球和地球半径分别为r1和r2 mg1?m(2?/T1)2r1 ① mg2?m(2?/T2)2r2 ② ①/②得 g1/g2?(T2/T1)2(r1/r2) ③
由②得 T?2?r2?4.8?103(S) 代入③得 T1?6000s?3600s
2g2 可见不可能发射周期小于6000s的环月卫星。
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60.目前人们广泛采用GPS全球定位系统导航，这个系统空间星座部分共需要24颗卫星绕地球运转，工作卫星分布在6个圆形轨道面内，每时每刻任何一个地区的地平线上空至少保持4颗卫星传递信息。其对时钟要求精度很高，科学家们采用了原子钟作为计时参照（如：铯原子钟定义的1秒是铯—133原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的9192631770个周期所持续的时间，其计时十分精确，10万年内误差不大于1秒），这样导航定位误差可控制在1～2米之内，甚是高明！这种卫星绕地球运行的周期T为12小时，地球半径用R表示，地球表面的重力加速度用g表示，电磁波传播速度用C表示。 （1）这种卫星与地球同步卫星相比较，其轨道高度是高还是低？ （2）这种卫星将电磁信号传于其某时刻地面上的正对点时，所用时间t=?(说明：卫星、地面上该点、地心三点共线，结果用题中所给字母表示) 解：1）这种卫星比地球同步卫星的轨道高度低。4分
Mm4?2GMT23?mr所以r?（2）万有引力提供向心力G22rT4?2又因为地面附近mg? 4分
GMm 2分 卫星距地面高度h?r?R④2分 R2
h1所以时间t=?(cc3gR2T24?2?R)⑤ 4分
61.2004年1月4日美国“勇气”号火星车在火星表面成功登陆，登陆时间选择在6 万年来火星距地球最近的一次，火星与地球之间的距离仅有5580万千米，火星车在登陆前绕火星做圆周运动，距火星表面高度为H，火星半径为R，绕行N圈的时间为t。求：
（1）若地球、火星绕太阳公转为匀速圆周运动，其周期分别为T地、T火，试比较它的大小；
（2）求火星的平均密度（用R、H、N、t、万有引力常星G表示）；
（3）火星车登陆后不断地向地球发送所拍摄的照片，地球上接收到的第一张照片大约是火星车多少秒前拍摄的。
解：1）设环绕天体质量为m，中心天体质量为M。即4分
2分 故 T火＞T曲 2分
（2）设火星车质量为m设火星质量为M
4分
2分
2分
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