19 5
当一个人拿到19时，下一个人就要拿5了，故游戏结束，拿了7个．剩25?7?18(个)．
【例 11】 (2008年北大附中“资优博雅杯”数学竞赛)一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋
子各200枚，我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是 颜色(填黑或者白)
【解析】 由于起初白子200枚是偶数，若同色，补黑子1枚，白子仍为偶数；若异色，补白子1枚，白子
仍为偶数．因此最后1枚不可能是白子，故应是黑子．
【巩固】 (第四届“走美”试题)30粒珠子依8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色、??的次序串
成一圈．一只蚱蜢从第2粒黑珠子起跳，每次跳过6粒珠子落在下一粒珠子上．这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑珠子上．
【解析】 这些珠子按8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色、??的次序串成一圈，那么每10粒珠子
一个周期，我们可以推断出这30粒珠子数到第9和10、19和20、29和30、39和40、49和50粒??的时候，会是黑珠子．刚才是从第10粒珠子开始跳，中间隔6粒，跳到第17粒，接下来是第24粒、31粒、38粒、45粒、52粒、59粒，一直跳到59粒的时候会是黑珠子，所以至少要跳7次．
【巩固】 在黑板上写上1、2、3、4、??、2008，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两
个数a和b，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？
【解析】 根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为1?2?3???2008?2009?1004是一个
偶数，而每一次“操作”，将a、b两个数变成了(a?b)，它们的和减少了2b，即减少了一个偶
数．那么从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数．所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数，那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数．
【例 12】 桌上有一堆石子共1001粒。第一步从中扔去一粒石子，并把余下的石子分成两堆。以后的每一
步，都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒，再把某一堆分作两堆。问：能否在若干步之后，桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？
【解析】 不可能．事实上，如果可能的话，那么假定最后在桌上剩下了n堆石子，每堆3粒，则在此之前
一共进行了(n?1)次操作（开始时只有一堆石子，每操作一次，多分出一堆，操作n?1次后分成
粒石子．因此，3n?(n?1)?1001，
得到4n?1002，但1002不是4的倍数，说明n不是整数，导致矛盾．所以不可能．
【巩固】 有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一
石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问，能否做到：⑴某2堆石子全部取光？⑵3堆中的所有石子都被取走？
【解析】 要使得某两堆石子全部取光，只需使得其中有两堆的石子数目一样多，那么如果我们把最少的一
堆先取光，只要剩下的两堆中有一堆数目是偶数，再平分一下就可以实现了．而题中数字正好能满足要求．所以，全部取光两堆是可以的．
对于第二个问题，要取走全部3堆，则必须3堆石子的总数是3的倍数才有可能，但1989、989、89之和并非3的倍数，所以是不可能的．
⑴可以取光其中的两堆石子．如进行如下的操作： 第1堆 第二堆 第三堆
1989 989 89
1900