所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0.① 又b>c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2， 所以2e2<1.②
32
联立①②，得≤e<. 52命题点2 求参数的值(或范围)
x2y2
例4 (2017·全国Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB
3m＝120°，则m的取值范围是( ) A．(0,1]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) 答案 A
解析 方法一 设椭圆焦点在x轴上， 则0 过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)． 故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN) 3＋x3－x ＋|y||y|23|y|＝＝22. 3＋x3－xx＋y－31－·|y||y|又tan∠AMB＝tan 120°＝－3， x2y23y2 2 且由＋＝1，可得x＝3－， 3mm则 23|y|23|y| ＝＝－3. 3y223?2?3－＋y－31－ym?m? 2m . 3－m B．(0，3]∪[9，＋∞) D．(0，3]∪[4，＋∞) 解得|y|＝ 2m 又0<|y|≤m，即0<≤m， 3－m结合0 对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9. 则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A. 方法二 当0 解得0 当m>3时，焦点在y轴上， 要使C上存在点M满足∠AMB＝120°， am则≥tan 60°＝3，即≥3，解得m≥9. b3故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A. 思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下： c (1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解． a(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝b21－2求解． a (3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. x2y2 跟踪训练2 (1)已知椭圆＋2＝1(0 4b于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________． 答案 3 解析 由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝82b2 －(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质可知＝3. a所以b2＝3，即b＝3. x2y2b (2)在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B， ab2C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________． 答案 6 3 解析 由已知条件易得B?－? 3b??3b?3b?→→? CF＝a，，Ca，，F(c，0)，所以BF＝c＋a，－， 22??22?22?? b3?3?→→?c－3a，－b?，由∠BFC＝90°－?2＝0，c2，可得BF·CF＝0，所以?c－a?·c＋a＋?22?2??2??2???3212c22c6222222－a＋b＝0，即4c－3a＋(a－c)＝0，亦即3c＝2a，所以2＝，则e＝＝. 44a3a3x2y2(3)(2018·阜新模拟)已知F1，F2是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点 abP使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是( ) A.?5? ?5，1? 5? 5?B.?2? ?2，1? C.?0， ? D.?0， ? 2? 2?答案 B x2y2 解析 ∵F1，F2是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，∴离心率0 abc2＝a2－b2.设点P(x，y)，由PF1⊥PF2，得(x＋c，y)·(x－c，y)＝0，化简得x2＋y2＝c2. x2＋y2＝c2，?? 联立方程组?x2y2 ＋＝1，??a2b2a2 整理得，x＝(2c－a)·2≥0， c 2 2 2 解得e≥ 2. 2 2 ≤e<1. 2 又0 1．(2018·赤峰模拟)曲线C1：x225＋y2x2y2 9＝1与曲线C2：25－k＋9－k＝1(k<9)的( A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 答案 D 解析 因为c21＝25－9＝16，c22＝(25－k)－(9－k)＝16， 所以c1＝c2，所以两个曲线的焦距相等． x2y2 2．若椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( ) A.12 B.33 C.222 D.4 答案 C 解析 依题意可知，c＝b，又a＝b2＋c2＝2c， )