x2y2
3．过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )
94x2y2
A.＋＝1 1510x2y2
C.＋＝1 1015答案 A 解析 由题意知＝－2(舍去)，
x2y2
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
1510
x2y2
4．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的
54面积等于1，则点P的坐标为__________________． 15??15?答案 ?，1或，－1 ?2??2?
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1x2y21515代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，
5422所以P点坐标为?
15??15?，1或，－1.
?2??2?c2＝5，可设椭圆方程为
x2y294
＋＝1(λ>0)，则＋＝1，解得λ＝10或λλ＋5λλ＋5λx2y2
B.＋＝1 2520
x2y2
D.＋＝1 2015
题组三 易错自纠
x2y2
5．若方程＋＝1表示椭圆，则m的取值范围是( )
5－mm＋3A．(－3,5) C．(－3,1)∪(1,5) 答案 C
5－m>0，??
解析 由方程表示椭圆知?m＋3>0，
??5－m≠m＋3，解得－3 x2y24 6．椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( ) 94＋k51919 A．－21 B．21 C．－或21 D.或21 2525答案 C B．(－5,3) D．(－5,1)∪(1,3) 5－k4c419 解析 若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝5－k，由＝，即＝，得k＝－；若a2＝4＋k， a53525k－54c4 b2＝9，则c＝k－5，由＝，即＝，解得k＝21. a54＋k5 x2y237．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l ab3交C于A，B两点，若△AF1B的周长为43，则C的方程为( ) x2y2 A.＋＝1 32x2y2 C.＋＝1 128答案 A 解析 ∵△AF1B的周长为43，∴4a＝43， ∴a＝3，∵离心率为∴b＝a2－c2＝3 ，∴c＝1， 3 x22 B.＋y＝1 3x2y2 D.＋＝1 124 x2y2 2，∴椭圆C的方程为＋＝1. 32 故选A. 第1课时 椭圆及其性质 题型一 椭圆的定义及应用 1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( ) A．椭圆 C．抛物线 答案 A 解析 由条件知|PM|＝|PF|， ∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|. ∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆． x22 2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外 3 B．双曲线 D．圆 一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( ) A．23 B．6 C．43 D．12 答案 C 解析 由椭圆的方程得a＝3.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝43. x22 3．椭圆＋y＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个 4交点为P，则|PF2|等于( ) 73 A. B. C.3 D．4 22答案 A 解析 F1(－3，0)，∵PF1⊥x轴， 11－3，±?，∴|PF1|＝， ∴P?2??217∴|PF2|＝4－＝. 22 4．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________． 答案 6＋2 6－2 x2y2 解析 椭圆方程化为＋＝1， 95设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)， ∴|AF1|＝2，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6， 又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)， ∴|PA|＋|PF|≤6＋2，|PA|＋|PF|≥6－2. 思维升华 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二 椭圆的标准方程 命题点1 定义法 例1 (1)已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为( )