【分析】（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式；
（2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点M的坐标为：（x，﹣x2+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案；
（3）分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4）， ∴点A′的坐标为：（4，0），
∵点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），抛物线经过点C、A、A′， 设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c， ∴
，
解得：，
∴此抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+4；
（2）连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b， ∴解得：
， ，
∴直线AA′的解析式为：y=﹣x+4， 设点M的坐标为：（x，﹣x2+3x+4），
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则S△AMA′=×4×[﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）]=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8， ∴当x=2时，△AMA′的面积最大，最大值S△AMA′=8， ∴M的坐标为：（2，6）；
（3）设点P的坐标为（x，﹣x2+3x+4），当P，N，B，Q构成平行四边形时， ∵平行四边形ABOC中，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0）， ∴点B的坐标为（1，4），
∵点Q坐标为（1，0），P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点， ①当BQ为边时，PN∥BQ，PN=BQ， ∵BQ=4，
∴﹣x2+3x+4=±4，
当﹣x2+3x+4=4时，解得：x1=0，x2=3， ∴P1（0，4），P2（3，4）； 当﹣x2+3x+4=﹣4时，解得：x3=∴P3（
，﹣4），P4（
，x4=，﹣4）；
，
②当BQ为对角线时，BP∥QN，BP=QN，此时P与P1，P2重合； 综上可得：点P的坐标为：P1（0，4），P2（3，4），P3（﹣4）；
如图2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0，0）或（3，0）．
，﹣4），P4（
，
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【点评】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式的知识、平行四边形的性质以及三角形面积问题．掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
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2017年3月1日
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