Z?min{X,Y}，其中X与Y相互独立.
注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到n个随机变量函数的分布问题只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异. 一、 离散型随机变量的函数的分布
设(X,Y)是二维离散型随机变量, g(x,y)是一个二元函数, 则g(X,Y)作为(X,Y)的函数是一个随机变量, 如果(X,Y)的概率分布为P{X?xi,Y?yj}?pij的所有可能取值为zk,k?1,2,?, 则Z的概率分布为 P{Z?zk}?P{g(X,Y)?zk}?(i,j?1,2,?)设Z?g(X,Y)g(xi,yj)?zk?P{X?x,Y?y}, k?1,2,?,
ij二、 连续型随机变量的函数的分布
设(X,Y)是二维连续型随机向量, 其概率密度函数为f(x,y), 令g(x,y)为一个二元函数, 则g(X,Y)是(X,Y)的函数. 可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求Z?g(X,Y)的分布.a) 求分布函数FZ(z),FZ(z)?P{Z?z}?P{g(X,Y)?z}?P{(X,Y)?DZ}???f(x,y)dxdy.
DZ?(z). 其中, DZ?{(x,y)|g(x,y)?z}.b) 求其概率密度函数fZ(z), 对几乎所有z, 有fZ(z)?FZ定理1 设(X1,X2)是具有密度函数f(x1,x2)的连续型随机向量.(1) 设y1?g1(x1,x2),y2?g2(x1,x2)是R2到自身的一一映射, 即存在定义在该变换的值域上的逆变
换:x1?h1(y1,y2),x2?h2(y1,y2);(2) 假设变换和它的逆都是连续的;(3) 假设偏导数?h1?hi?y(i?1,2,j?1,2)存在且连续;(4) 假设逆变换的雅可比行列式J(y1,y2)?1?h2?yi?y1?h1?y2?0, ?h2?y2即J(y1,y2)对于在变换的值域中的(y1,y2)是不为0的. 则Y1,Y2具有联合密度 w(y1,y2)?|J|f(h1(y1,y2),h2(y1,y2)).
2). 则Z?X?Y仍然服从正态分定理2 设X,Y相互独立，且X~N(?1,?12), Y~N(?2,?22).更一般地，可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线布，且Z~N(?1??2,?12??2性组合仍然服从正态分布, 即有
定理3 若Xi~N(?i,?i2)(i?1,2,?,n),且它们相互独立，则对任意不全为零的常数
n?n2??a?,a?a1,a2,?,an，有?aiXi~N???ii?ii?.
i?1i?1?i?1?n 三、 M?max(X,Y)及N?min(X,Y)的分布
设随机变量X,Y相互独立,其分布函数分别为FX(x)和FY(y), 由于M?max(X,Y)不大于z
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等价于X和Y都不大于z, 故有
FM(z)?P{M?z}?P{X?z,Y?z}?P{X?z}P{Y?z}?FX(z)FY(z);
类似地, 可得N?min(X,Y)的分布函数
FN(z)?P{N?z}?1?P{N?z}?1?P{X?z,Y?z}?1?P{X?z}P{Y?z}?1?[1?FX(z)][1?FY(z)].
例题选讲：
离散型随机变量的函数的分布
例1设随机变量(X,Y)的概率分布如下表 Y 0 1 ?1 X 0.2 0.15 0.1 ?1 2 0.1 0 0.1 求二维随机变量的函数Z的分布: (1)Z?X?Y;2 0.3 0.05 (2)Z?XY.
例2设X和Y相互独立, X~b(n1,p),Y~b(n2,p), 求Z?X?Y的分布.
例3 (若X和Y相互独立, 它们分别服从参数为?1,?2的泊松分布, 证明Z?X?Y服从参数为?1??2的泊松分布.
连续型随机变量的函数的分布
例4设随机变量X与Y相互独立, 且同服从[0,1]上的均匀分布, 试求Z?|X?Y|的分布函数与密度函数.
例5 设(X1,X2)的密度函数为f(x1,x2). 令Y1?X1?X2,Y2?X1?X2试用f表示Y1和Y2的联合密度函数.
和的分布：设X和Y的联合密度为f(x,y), 求Z?X?Y的密度.
卷积公式: 当X和Y独立时, 设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y), 则上述两式化为
fZ(z)??fX(z?y)fY(y)dy????以上两个公式称为卷积公式.
fZ(z)??fX(x)fY(z?x)dx??例6设X和Y是两个相互独立的随机变量. 它们都服从N(0,1)分布, 其概率密度为 fX(x)?fY(y)?12?12?e?xe2/2,???x??,?y2/2求Z?X?Y的概率密度.
,???y??.?x??xe,当x?0时,例7设某种商品一周的需要量是一个随机变量, 其概率密度函数为f(x)??
?其它.?0,如果各周的需要量相互独立, 求两周需要量的概率密度函数.
例8 设X与Y相互独立, 且均在区间[0,1]上服从均匀分布, 求Z?X?Y的密度函数. 例9设X1,X2相互独立且分别服从参数为?1,?;?2,?的?分布(分别记成X1~?(?1,?),X2~?(?2,?),X1,X2的概率密度分别为
?11??1?1?x/?,x?0y?2?1e?y/?,y?0???(?)xe??2fX1(x)???11 fX2(y)????(?2)
??0,其它0,其它??试证明X1?X2服从参数为?1??2,?的?分布.
X商的分布：设二维随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y), 求Z?的密度函数.
Y
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例10 在一简单电路中, 两电阻R1和R2串联连接, 设R1,R2相互独立,它们的概率密度均
?10?x?,0?x?10为 f(x)??50求总电阻R?R1?R2的概率密度.
?其它.?0,例11设X与Y相互独立, 它们都服从参数为?的指数分布. 求Z?X的密度函数. Y
积的分布： 设(X1,X2)具有密度函数f(x1,x2), 则Y?X1X2的概率密度为
??y?1 fY(y)??f?z,?dz.
???z?|z|例12设二维随机向量(X,Y)在矩形G?{(x,y)|0?x?2,0?y?1}上服从均匀分布, 试求边长为X和Y的矩形面积S的密度函数f(s).
例13设随机变量X1,X2独立, 且有相同的几何分布:P{Xi?k}?pqk?1,k?1,2,?,i?1,2，q?1?p求Y?max(X1,X2)的分布.
例14设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成，联接方式分别为串联、并联、备用（当系统L1损坏时，系统L2开始工作），如图3—3—6所示. 设L1,L2的寿命分别为X,Y, ??e??x,x?0,??e??y,y?0,已知它们的概率密度分别为fX(x)?? fY(y)??其中
0,x?0,0,y?0,????0,??0且???. 试分别就以上三种联接方式写出L寿命Z的概率密度.
思考题
1.已知(X,Y)的分布律为 0 X 0 0.10 1 0.15 Y1 0.25 0.20 2 0.15 0.15 求:（1）Z?X?Y;（2）Z?XY;（3）Z?sin????X?Y???;（4）Z?max{X,Y}分布律. 2???1,0?x?12. 若X和Y独立, 具有共同的概率密度f(x)??求Z?X?Y的概率密度.
0,其它?
第四章 随机变量的数字特征
前面讨论了随机变量的分布函数, 从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性.但在许多实际问题中, 人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况, 而只要知道它的某些数字特征即可.例如, 在评价某地区粮食产量的水平时, 通常只要知道该地区粮食的平均产量;又如, 在评价一批棉花的质量时, 既要注意纤维的平均长度, 又要注意纤维长度与平均长度之间的偏离程度, 平均长度较大, 偏离程度小, 则质量就较好. 等等
实际上, 描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义, 它们能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质.
本章将要讨论的随机变量的常用数字特征包括: 数学期望、方差、相关系数、矩. 【教学目的与要求】
通过学习，使学生理解数学期望、方差的概念，掌握它们的性质与计算；会计算随机变量函数的数学期望。熟记二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期
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望与方差。了解协方差与相关系数的概念并掌握它的性质与计算。了解矩的概念。 【教学重点】
数学期望、方差、协方差、相关系数的概念、性质和计算。 【教学难点】
相关系数
【计划课时】5 【教学内容】
第一节 数学期望
一、离散型随机变量的数学期望
平均值是日常生活中最常用的一个数字特征, 它对评判事物、作出决策等具有重要作用. 定义 设X是离散型随机变量的概率分布为P{X?xi}?pi,i?1,2,?如果
??xpi?1?ii绝对收敛,
则定义X的数学期望(又称均值)为 E(X)??xipi.
i?1二、连续型随机变量的数学期望
定义 设X是连续型随机变量, 其密度函数为f(x),如果学期望为 E(X)?????xf(x)dx绝对收敛, 定义X的数
????xf(x)dx.
三、 随机变量函数的数学期望
设X是一随机变量, g(x)为一实函数,则Y?g(X)也是一随机变量, 理论上, 虽然可通过X的分布求出g(X)的分布, 再按定义求出g(X)的数学期望E[g(X)]. 但这种求法一般比较复杂. 下面不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理. 定理1 设X是一个随机变量, Y?g(X),且E(Y)存在, 则（1） 若X为离散型随机变量, 其概率分布为P{X?xi}?pi,i?1,2,?则Y的数学期望为E(Y)?E[g(X)]??g(xi)pi.（2） 若
i?1?X为连续型随机变量, 其概率密度为f(x), 则Y的数学期望为
E(Y)?E[g(X)]??g(x)f(x)dx.
???注: (i)定理的重要性在于:求E[g(X)]时, 不必知道g(X)的分布, 只需知道X的分布即可. 这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便;(ii) 上述定理可推广到二维以上的情形, 即 定理2 设(X,Y)是二维随机向量, Z?g(X,Y),且E(Z)存在, 则（1）若(X,Y)为离散型随机向量, 其概率分布为P{X?xi,Y?yj}?pij(i,j?1,2,?)则Z的数学期望为
E(Z)?E[g(X,Y)]???g(xi,yj)pij（,2）若(X,Y)为连续型随机向量, 其概率密度为f(x,y)j?1i?1??则Z的数学期望为E(Z)?E[g(X,Y)]?????????g(x,y)f(x,y)dx.
四、数学期望的性质1. 设C是常数, 则E(C)?C; 2．若k是常数，则E(kX)?kE(X);
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