讨论:2)复变函数和实变函数的导数的定义，虽然形式上相同，实质上却有很大的区别，这是因为实变函数?x只沿实轴逼近零，而复变函数?z却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多. 25
（二）柯西-黎曼条件
f(z)?u(x,y)?iv(x,y)?u?i?v?u?i?v?u?vf?y'(z)?lim?lim??i??x?0?x?i?y?x?0i?y?y?y?y?0?y?0?u?i?v?u?i?v?u?vf?x'(z)?lim?lim??i?y?0?x?i?y?y?0?x?x?x?x?0?x?0可导的必要条件
f?x'(z)?f?y'(z)??u?v???x?y?称为科西-黎曼因此?条件:C.R.条件?v?u?????y??x26
(三) f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在z点可导的充要条件
u、v在z处满足C.R.条件u、v在z处有连续的一阶偏微商证明：
因为u、v在z处有连续的一阶偏微商，所以u、v的全微分存在?u?u?u??x??y??1?x??2?y?x?y?v?v?v??x??y??3?x??4?y?x?y其中各个?z= ?x+i?y，有εi 值随?z →0而趋于零，对于任意的27
??v?u?u?v???x??y?i??x??y???x?y?x?y??f?u?i?v?lim?lim?lim?z?0?z?z?0?z?0?z?z?u?v?v?u??x?i?y??i??x?i?y??x??i?lim?x?x?0?x?i?y?y?y?y?0?u?v??i?x?x此式?z无论以什么方式趋于零，导数都存在，故，f (z) = u(x,y)+iv(x,y) 在z点可导。
（四）C.R.方程的极坐标表示
??u1?v?????????1?u?v??????????28