（i）求学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级的概率；
（ii）已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
21．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）ln（x+1），g（x）＝ax+（1）当x≥0时，总有
，求m的最小值．
﹣xcosx．
（2）对于[0，1]中任意x恒有f（x）≤g（x），求a的取值范围．
（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x﹣2x+y＝0．以原点O为极点，
2
2
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出直线l与曲线C的交点M，N的极坐标； （2）设P是椭圆[选修4-5：不等式选讲] 23．已知f（x）＝x+2|x﹣1|． （1）解关于x的不等式：
；
+
2
上的动点，求△PMN面积的最大值．
（2）若f（x）的最小值为M，且a+b+c＝M（a，b，c∈R），求证：
．
2020年湖南省永州市高考数学三模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【分析】可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：N＝{x|x﹣1＞0}＝{x|x＞1或x＜﹣1}，M＝{x|﹣1＜x＜3}， ∴M∩N＝{x|1＜x＜3}． 故选：C．
【点评】本题考查了描述法的定义，对数函数的定义域，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案． 【解答】解：由z?（1+2i）＝|3﹣4i|＝5， 得
，
2
∴在复平面内复数z对应的点的坐标为（1，﹣2），位于第四象限， 故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．【分析】由题意利用指数函数的单调性和特殊点，得出结论． 【解答】解析：0.3＞0.3，即b＞c＞0，而∴a＞b＞c， 故选：B．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题． 4．【分析】本剧图表，可知C错，增长率不稳定．
【解答】解析：由图表易知，从1至4月来看，该省在2019年快递业务量同比增长率先降低，再增加，再降低，再增加，C错． 故选：C．
【点评】本题考查频率直方图，属于基础题．
5．【分析】A选项涉及“或”一真则真，“且”一假则假的问题；
0.3
0.4
，即a＞b，
B选项命题的否定要注意一改量词，二改结论； C选项可以考虑原命题的真假； D选项解方程的根为﹣1，6．
【解答】解析：“p∨q”为真，则命题p，q有可能一真一假，则“p∧q”为假，故选项A说法不正确；
命题“?x＞0，e﹣x﹣1＞0”的否定应该是“?x0＞0，不正确；
因命题“若x≥1，则
2
x”，故选项B说法
”为真命题，则其逆否命题为真命题，故选项C说法正确；
2
2
因x＝﹣1?x﹣5x﹣6＝0，但x﹣5x﹣6＝0?x＝﹣1或x＝6，所以“x＝﹣1”是“x﹣5x﹣6＝0”的充分不必要条件，选项D说法不正确； 故选：C．
【点评】本题难度较小，着重考查了逻辑连结词，命题的四种形式，否命题和充要条件的问题，需要我们熟练掌握概念和性质．
6．【分析】由已知利用正弦定理，两角差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式可得sin（B﹣C）＝sin2C，在锐角三角形中可求B＝3C，可得解得C的取值范围．
【解答】解：∵bcosC﹣ccosB＝2c?cosC，
∴由正弦定理可得：sinBcosC﹣sinCcosB＝2sinCcosC， ∴sin（B﹣C）＝sin2C， ∴B﹣C＝2C， ∴B＝3C， ∴∴故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 7．【分析】先根据已知求得|
|＝
；再把所求展开结合数量积即可求解结论．
，且
．
，
，且
，从而
【解答】解：∵平面向量，，均为单位向量，（+）＝故|∴+
；
与反向时取等号． |＝
；
＝?+
﹣（+）?＝﹣（
）
2
+2?+＝3，
≤+|+|?|﹣|＝
当且仅当故选：C．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及到向量的模长计算，属于基础题目． 8．【分析】由题意知，阴影部分是由12个全等的弓形组成的面积，由此求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式计算概率值．
【解答】解：连接A、B、O，得等边三角形OAB，则阴影部分的面积为
S阴影＝12×（×πR﹣×R×sin60°）＝（2π﹣3
22
）R，
2
故所求概率为故选：B．
．
【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．
9．【分析】作出函数f（x）的图象，易知y＝f（x+a）的图象可以看成是y＝f（x）的图象向左（a＞0时）或向右（a＜0时）平移|a|个单位而得，分a＞0及a＜0，结合图象观察即可得解．
【解答】解析：依题意作出f（x）的图象，y＝f（x+a）的图象可以看成是y＝f（x）的图象向左（a＞0时）或向右（a＜0时）平移|a|个单位而得，