证明：由于MrMd??1MYMddd?f(Y(t),i(t))，由增长率的定义，应用全导数公式可以得到：
ddMdt?M?Y??1Md(?M?YiMddYdt?M?i?d?M?i?ddidt)d1dYYdt?1diidt
??MdYrY??Mdirid即Md的增长率可以表示成rY与ri的加权之和，其权重分别为Md对Y与i的弹性。
3.10水平曲线的分析
（1）边际递减规律
经济学家认为生产函数是增函数，因此fL?0、fK?0，又认为投入要素的边际生产率是递减的，就是随着要素投入量的增加，总产量增加，但是边际产量是不断减少的，即fLL?0,fKK?0，这条规律称边际递减规律。如果生产函数是一元函数，则该函数是凹函数。
（2）边际替代率分析
对于生产函数y?f(L,K)来讲，水平曲线上点的位置虽不同但是却有相同的产量，如何来解释这一现象呢？如下图所示，从A点到B点的移动分为两步，由A点减少资金量
?K，保持劳动力L不变垂直移动到C点，再由C点增加劳动力?L，保持资金量K不变
移动到B点，从A点到C点产出量y的改变量为A点的资金边际产量乘以资金减少量，记作fK?K，从C点到B点产出量y的改变量为B点的劳动力边际产量乘以劳动力增加量，记作fL?L，由于A点和B点y的量并没有改变，因此有
?y?fK?K+fL?L?0
当?L?0,?K?0时，上式就成为全微分形式，fLdL?fKdK?0
dKdL??fLfKdKdL即 2—1
从几何上来看是水平曲线的斜率，因此可以看出水平曲线的斜率为生产函数的一
阶偏导数之比的负值，因此方程K?K(L)与y?f(L,K(L))?C是等价的，当fK?0 17
时，水平曲线变成一条垂线，它的导数不存在。
从经观济学看水平曲线表示如果产量一定，在减少资金?K的同时要增加劳动力
?L。劳动与资本之间存在着替代关系，经济学上把
fLfK称为劳动力对资本的边际替代
率，因此边际替代率就是等产量曲线斜率的负值，即
fLfK??dKdL。
K-A(L,K??K)B(L??L,K)
?KKC?L-OL等产量曲线的分析L实际上对于任意二元函数y?f(L,K)的水平曲线f(L,K)?y0 (y0为常数)，由于方程中仅含有两个未知变量。这样，如果可以将其中一个未知变量能表示为另一个未知变量的函数。例如，K?K(L) ，将其带入水平曲线，得f(L,K(L))?y0，式中K随L变化而变化。
任何一个水平曲线的斜率都可以表示为导数
?f?L?fdK?KdL?y0?LdKdL，在等式f(L,K(L))?y0两边同时
dKdL?0。注意这里我们把K看作L对L求导，得到的函数。
???0或fL?fK我们假设fK?0，则有
dKdL??fLfK。得到和式2—1相同的结果。
在消费者理论中用同样的方法可以分析效用函数U?U(x1,x2)的水平曲线，在效用
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不变的条件下，减少对产品x2的消费量就要同时增加对产品x1的消费量，称
U1U2dx2dx1U1U2为商品
x1与x2之间的边际替代率，因此有同样的结论为
??
（3）水平曲线的凸性分析
曲线的的凸性是说明曲线的形状，从原点观察水平曲线的形状是凸的，如果换个视角观察水平曲线的形状可能是凹的，从数学上来看水平曲线是凸的就是曲线的二阶导数非负，即
当用要素L代替要素K时，K不断减少，L不断增加，从而fK不断增加，fL不断减少。因此，
2fLfKd?fL?不断减少，既
dL??fKd?fL?dL??fK???0 ?????0，这就是边际替代率递减规律。 ??由于
dKdL2??因此，水平曲线的斜率为负且水平曲线的形状是凸的； 下面用偏导数来表示
dKdL22
dKdLdKdL22??fL(L,K(L))fK(L,K(L))
dd??1???fK[fL(L,K(L))]?fL[fK(L,K(L))]?2
dLdL??fK??fdK??fdK??1??fdL??fKdL???fK?L?L?K??fL???2
?LdL?KdL?LdL?KdL?????fK??dK?dK??1????ff?f?ff?f???2 LKL?KLKK?K?LLdLdL?????fK?而
dKdL??fLfK，且fLK?fKL带入上式得：
dKdL222?fLfKK???fKfLL?2fLfLK??fK??1??f2 ?K 19
dKdL22??fKfLL?2fLfKfLK?fLfKK?22?1fK3
根据上面的计算我们得到边际替代率递减法则成立的条件
定理 设y?f(L,K)，边际产出fK?0，则
d?fL?边际替代率
dL??fK?22??fKf?2fff?fLLLKLKLfKK????1fK3
如果fKfLL?2fLfKfLK?fLfKK?22?13fK?0，则边际替代率是递减的。
3.11齐次函数和欧拉定理
为了有效的研究许多重要经济模型的结构，我们学习一类重要的函数，这类函数称为齐次函数，研究这类函数的兴趣主要来自于对分配理论问题的探讨。边际生产理论的发展得出了这样的结论：生产要素的投入应该依据生产要素的边际产出，即1单位生产要素的边际成本应该等于1单位生产要素对边际产出的贡献。如果用y?f(x1,x2)表示生产函数，?i表示第i种要素的价格，p表示产品价格，fi??f?xi表示第i种要素的边际产出，
那么要素的投入应满足如下法则：pfi??i。但是，这种分析方法仅仅针对每一种要素的投入。那么对于多种要素的总投入和总产出应当如何分析呢？
数学家欧拉（Euler）的一个定理，可以用来分析这个问题。这个定理告诉我们：如果生产函数是规模报酬不变的，那么所有要素的支出之和应该等于总产出。即投入1单位的第i种要素的成本为?i?pfi，则投入xi单位的第i种要素的成本为?ixi?pfixi。所以，所有要素的总支出额为：?pfixi?p?fixi。
考虑两种生产要素时，规模报酬不变的情况下有：f1x1?f2x2?y?f(x1,x2)，因此，有：?1x1??2x2?pf1x1?pf2x2?p(f1x1?f2x2)?py
而规模报酬不变的生产函数意味着，投入的各种要素变化相同的比例，那么产出也会变化相同的比例，即：f(tx1,?,txn)?tf(x1,?,xn)，这是齐次函数的一个特例。
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