行列式的计算技巧与方法总结

2.3.1 按某一行(或列)展开

x00例6 解行列式Dn??0an解:按最后一行展开,得

?1x0?0an?10?1x?0?????000?x000. ??1a1an?2?a2Dn?a1xn?1?a2xn?2???an?1x?an.

2.3.2 按拉普拉斯公式展开

拉普拉斯定理如下:设在行列式D中任意选定了k?1?k?n-1?个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即

其中Ai是子式Mi对应的代数余子式. D?M1A1?M2A2???MnAn,即

AnnCnnAnn00Bnn?Ann?Bnn,

Cnn?Ann?Bnn. Bnn?b例7 解行列式Dn?b?baaa?????a???????????.

?????解:从第三行开始,每行都减去上一行;再从第三列开始,每列都加

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到第二列,得

?bDn?0?0aaa?a?????0?????0??0??0

???0????aa?a?b?0?0??n?1?a???n?2??0?0?????0??0??0???0????0?0???0????n?2?b?n?1?a???n?2???????0???????n?2????n?1?ab??????.

2.4 升阶法

就是把n阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式,再通过性质化简算出结果,这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法.升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后,就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0,这样就达到简化计算的效果.

其中,添加行与列的方式一般有五种:首行首列,首行末列,末行首列,末行末列以及一般行列的位置.

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011?11101?11110?11??????111?01111?10例8 解行列式D=.

解:使行列式D变成n?1阶行列式,即

111?11001?11D?010?11??????011?01011?10.

再将第一行的??1?倍加到其他各行,得:

1?1??1?110?0010?00????100?0100?0?1?1?1D=

?1?.

??1从第二列开始,每列乘以??1?加到第一列,得:

?(n?1)0D?0?001?10?0010?00????100?0100?0?1?1?

??1???1?n?1?n?1?.

2.5数学归纳法

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有些行列式,可通过计算低阶行列式的值发现其规律,然后提出假设,再利用数学归纳法去证明.对于高阶行列式的证明问题,数学归纳法是常用的方法.

cos?10?0012cos?1?0001?00????000?1000?12cos?例9 计算行列式Dn?2cos??.

?2cos?解:用数学归纳法证明. 当n?1时,D1?cos?. 当n?2 时,D2?cos?11?2cos2??1?cos2?.

2cos?猜想,Dn?cosn?.

由上可知,当n?1,n?2时,结论成立.

假设当n?k时,结论成立.即:Dk?cosk?.现证当n?k?1时,结论也成立.

cos?10?0012cos?1?0001?00????000?1000?12cos?当n?k?1时,Dk?1?2cos??.

?2cos?将Dk?1按最后一行展开,得

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