概率答案

因为最大为7,最小为2,且2和7只出现一次,所以3,4,5,6这四个数要出现5次,即样本点数为C2C7?4,所以

125P(E)=

C2C7?4107125

10、从[0,1]中任取两数,求 (1)两数之和大于1/2的概率; (2)两数之积小于1/e的概率。

设两数分别为x,y,则x∈[0,1],y∈[0,1]。

(1)作出x=1;y=1;x+y=1/2的图像。P(两数之和大于1/2)=1-(1/2

×1/2×1/2) /1=7/8

(2)作出x=1,y=1,xy,=1/e的图像;图像的交点为(1/e,1),(1,1/e)

则P(两数之积小于1/e)=(1×1/e+∫1/e11/exdx)/1=2/e

习题1.3(P14)

11、设A,B同时发生必然导致C的发生,则P(C) ≥P(A)+P(B)-1。

证明:∵A,B同时发生必导致C发生

∴AB?C,即P(C)≥P(AB) ∵P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) ∴P(AB)= P(A)+P(B)- P(A∪B) ∵P(A∪B)≤1 ∴P(AB)≥P(A)+P(B)-1 ∴P(C) ≥P(A)+P(B)-1 上述得证。

12、设P(A)=P(B)=1/2,试证明:P(AB)= P(AB)。

——

证明:

因为P(AB) = P(AUB) = 1 – P(A?B) = 1 – P(A) – P(B) +P(AB)

——

——————

因为P(A) = P(B) =1/2

所以P(AB) = 1 – 1/2 – 1/2 + P(AB) 所以P(AB) = P(AB)

13、已知P(A)=0.4,P(B)=0.2,若 (1)A,B互不相容;(2)B包含于A

解:(1)P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6

——

——

P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.4-0=0.4

(2)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+02-0.2=0.4

P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.4-0.2=0.2

14、某城市有40%的住户订日报,65%的住户订晚报,70%的住户至少订两种报纸中的一种,求同时订两种报纸的住户的百分比。

解:记“订日报的住户”为P(A),“订晚报的住户”为P(B),

根据题意,易知:P(A?B)=70%

则P(AB)=P(A)+P(B)- P(A?B)=40%+65%-70%=35% 答:同时订两种报纸的住户有35%。

15、一袋中有4只白球,3只黑球,从中任取3只球,求至少有2只白球的概率。

本题在该答案上为第12题。

12.解:设“至少有两只白球”的事件为A事件,则

P(A)=C4C3?C4C37213?2235

16、设A,B,C是三个事件,且P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=1/12,且P(CA)=0求A,B,C至少有一个发生的概率。

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)-P(ABC)

=1/2+1/3+1/4-1/12-0-1/12-0=11/12

习题1.4(P20)

17、P(A)=1/4,P(B|A)=1/3,P(A|B),求P(A∪B)。

本题在该答案上为第14题。

14.解:?P?AB??P(A)?P(B/A)?111??4312P(B)?P?AB?P(A/B)1?12?1162141611213

????P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?19、如果P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求

解:P(B|A?B) =P(AB)/P(A?B) 因为P(A)=1-P(A)=1-0.3=0.7,

P(B| A?B)

所以P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.7- P(AB)=0.5 即P(AB)=0.2

又因为P(A?B) = P(A) + P(B) - P(AB) =0.7+1-0.4-0.5= 0.8 所以P(B| A?B) = P(AB)/P(A?B) =0.25

20、一批产品共100件,其中10件为次品,每次从中任取一件不放回,求第三次才取到正品的概率。

解:设“第三次才取到正品”为事件A,则

因为要第三次才取到正品,所以前两次要取到次品。

10100 第一次取到次品的概率为

9 第二次取到次品的概率为 第三次取到正品的概率为

P(A)=10100?999?909899,

9098。

?0.0083 即第三次才取到正品的概率为0.0083。

21、三人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,求三人中至少有一人能将此密码译出的概率。

解法1:

设 A,B,C 分别为“第一,第二,第三个人译出”的事件,则:

P(A)=1/5 P(B)=1/3 P(C)=1/4

因为三个事件独立,

所以P(AB)=P(A)P(B)=1/15, P(AC)=P(A)P(C)=1/20 ,

P(BC)=P(B)P(C)=1/12, P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=1/60,

所以

P(A?B?C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=3/5 解法2:

设A=“至少有一人能译出”,则A=“三个人均不能译出”,所以

4233 P(A)=1-P(A)=1-??=

534522、加工一产品要经过三道工序,第一、二、三道工序不出废品的概率为0.9、0.95、0.8,假定各工序之间是否出废品是独立的,求经过三道工序不出废品的概率。

解:设P(A),P(B),P(C)分别为第一,二,三道工序不出废品的概率,

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