2019届河南省开封市高三第三次模拟数学(理)试题(解析版)

立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题, 主要体现在以下几个方面:

① 求异面直线所成的角,关键是转化为两直线的方向向量的夹角;

② 求直线与平面所成的角,关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角; ③求二面角,关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.多用空间向量解决.

19.为评估设备生产某种零件的性能,从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本,测量其直径后,整理得到下表:

经计算,样本的平均值,标准差,以频率值作为概率的估计值.

(I)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为,并根据以下不等式进行判定(表示相应事件的概率): ①②③

; ; .

判定规则为:若同时满足上述三个式子,则设备等级为甲;若仅满足其中两个,则等级为乙,若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部都不满足,则等级为了.试判断设备的性能等级.

(Ⅱ)将直径尺寸在

之外的零件认定为是“次品”.

①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件,求其中次品个数的数学期望②从样本中随意抽取2个零件,求其中次品个数的数学期望

.

【答案】(I)丙级;(Ⅱ)①;②.

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【解析】(I)以频率值作为概率计算出相应概率,再利用判定规则的三个式子得出判断设备的性能等级。

(Ⅱ)先根据题意将次品件数求出。①根据题意知,这种抽取实验是服从二项分布的,根据二项分布的期望公式可求出种取值的概率,进而求出【详解】 (I)

。②根据古典概型求概率的公式,可以求出的每

由图表知,,

所以该设备的级别为丙级.

(Ⅱ)①从设备的生产流水线上任取一件,取到次品的概率是,

依题意,~,故.

②从100件样品中任取2件,次品数的可能取值为0,1,2,

,,,

故【点睛】

.

对于(Ⅱ)问题①是二项分布(次独立重复试验中,事件A发生的次数 ,

其期望为)利用公式得出。

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20.已知椭圆 ,四点,,,

中恰有三点在椭圆上.

(I)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)过的右焦点作斜率为的直线与交于,两点,直线为线段

的中点,过点作直线

与轴交于点,

于点.证明:,,三点共线.

【答案】(I);(Ⅱ)证明见解析.

【解析】(I)根据椭圆的对称性,得到,在椭圆上,不在椭圆上,将点,

代入椭圆的方程,联立得到,,即可求出椭圆方程。

(Ⅱ)设直线的方程为,代入椭圆方程,由于为线段的中点、直线

于点,所以点、点,分别得到、的表达式,然后相减检

验是否为0,若为0,即三点共线。 【详解】

(I)根据椭圆对称性,必过,,又,不在上,

∴ ∴ ,,∴椭圆的方程为.

(Ⅱ),设直线的方程为,

代入椭圆方程,得

设,,则,,

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易知,,,,

∴【点睛】

,∴,,三点共线.

判断三点共线一般采用向量共线法、斜率相等法,本题是斜率相等法:从,,三点中找到两条直线21.已知函数(I)当(Ⅱ)设

,证明他们的斜率相等,从而得到三点共线。 ,

,(常数

).

的图象相切时,求的值;

,讨论

上零点的个数.

【答案】(I);(Ⅱ)当时,在上没有零点;时,在

上只有一个零点;时,在上有两个零点.

【解析】(I)设出切点的坐标,利用导数的几何意义求出过点A 的斜率,

写出切线的点斜式方程,结合待定系数法,即可求出的值。 (Ⅱ)将

变形得到

, 当

时,

有零点;当时,在单调递减,在单调递增.有最小值 ,

对进行讨论得出在上零点的个数。

【详解】 (I)设切点为

所以过点的切线方程为

,即

所以,解得:.

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