A4A11?2(cos?0t?cos3?0t?cos5?0t??)2?925
A4A?1 ??2?2cosn?0t n?1, 3, 5, ?2?n?1nx(t)?其频谱图如图2-5b、c所示。
从以上两例可看出，三角波信号的频谱比方波信号的频谱衰减得快，这说明三角波的频率结构主要由低频成分组成，而方波中所含高频成分比较多。这一特点反映到时域波形上，表现为含高频成分多的时域波形(方波)的变化比含高频成分少的时域波形(三角波)的变化要剧烈得多。因此，可根据时域波形变化剧烈程度，大概判断它的频谱成分。
周期信号的频谱具有以下特点： (1)离散性 频谱是离散的。
(2)谐波性 频谱中的谱线只出现在基频的整数倍频率处，即各次谐波频率都是基频?0的整数倍(n?0)。
(3)收敛性 各次谐波分量随频率增加，其总的趋势是衰减的。因此，在实际频谱分析时，可根据精度需要决定所取谐波的次数。
通过频谱分析可以把一个复杂的时间信号分解成一系列简单的正弦谐波分量来研究，以获得信号的频率结构以及各谐波幅值和相位信息。这对于动态测试具有重要的意义。
图2-6所示的三维图，表明了同一个周期信号方波(图中只画出一个周期)的时域描述和频域描述间的对应关系。时域描述、频域描述是对同一信号的不同描述方法，并没有改变信号本身的特性，它们只是通过不同的描述方法表征了信号的不同特征。
图2—6周期方波的时域和频域对应关系
二、傅里叶级数的复指数函数展开式
由于复指数函数在某些场合下运算和分析非常简便，因此可以将傅里叶级数写成复指数函数形式。
根据欧拉公式 e可得
?j?t?cos?t?jsin?t (2-9)
9
1?j?t(e?ej?t) (2-10) 21sin?t?j(e?j?t?ej?t) (2-11)
2cos?t?将式（2-10）和式（2-11）代入式（2-6），得
11x(t)?a0??[(an?jbn)e?jn?0t?(an?jbn)ejn?0t] (2-12)
2n?12令 C0?a0 (2-13a)
?C?n?1(an?jbn) (2-13b) 21Cn?(an?jbn) (2-13c)
2即 x(t)?C0??Cn?1?n??ne?jn?0t?Cnejn?0t (2-14)
则 x(t)?式中
n????Cejn?0t (n??1, ?2, ?3, ?) (2-15)
1Cn?(an?jbn)212T/22T/2 ?[?x(t)cosn?0tdt?j?x(t)sinn?0tdt]
2T?T/2T?T/21T/2 ??x(t)(cosn?0t?jsinn?0t)dtT?T/2因此 Cn?1T/2?jn?0tx(t)etdt (2-16) ??T/2T从上式可以看出Cn是一个复数，可表示为
Cn?CnR?jCnI?Cnej?n
22Cn?CnR?CnI
?n?arctanCnI CnR以Cn、?n为纵坐标，为?横坐标作图，可得到复指数形式傅里叶级数展开式的幅频图和相频图。
例2-3 求例2-1中周期方波信号的复指数形式的傅里叶级数展开式。 解：将x(t)分为两个半周期代入式（2-16）得
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Cn?T/210A1 [??Ae?jn?0ttdt??Ae?jn?0tt]?[(1?e?jn?)?(e?jn??1)]0T?T/2Tjn?0又e?jn??cosn??jsinn?，代入上式可得：
2A?A?01??j n??1, ?3, ?5, ? nCn?[2?2(?1)]??n?2?jn?0? n??0, ?2, ?4, ? ?0 由于Cn是纯虚数，故cn?(2A/n?), ?n?? 2所以，x(t)的展开式为
x(t)?n????Cne?jn?0t?j2A1ej(2k?1)?0t (k?0, ?1, ?2, ?) ??k???2k?1?由上所述，周期信号的频谱描述工具是傅里叶级数展开式，它的两种展开形式有以下联
系：复指数形式的频谱为双边谱(?从-∞到∞)，三角函数形式的频谱为单边谱(?从0到∞)。两种频谱各谐波幅值的关系为。双边幅频谱是?的偶函数；双边相频谱为?的奇函数。在工程应用中，常采用简明的单边谱。
2.3 傅里叶变换及非周期信号的频谱
非周期信号包括准周期信号和瞬变非周期信号两种。准周期信号是由两个以上简谐信号组成，但各简谐信号的频率比不是有理数。它也有离散频谱，从其表达式便可知其频率结构。通常所说的非周期信号是指瞬变非周期信号。常见的瞬变非周期信号如图2-7所示。下面主要讨论瞬变非周期信号的频谱。
a) b)
c) d)
图2-7常见的非周期信号
a)矩形脉冲信号 b)单边指数衰减信号 c)衰减振荡 d)单一脉冲
一、傅里叶变换(FT-Fourier Transform)
我们可以将非周期信号看成是周期无穷大的周期信号来着手分析。假设周期信号x(t)的周期为T，在(-T/2，T/2)区间进行傅里叶级数展开，表达式如式(2-15)所示，复系数如表达式(2-16)所示。将式(2-16)代入式(2-15)中得
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x(t)?n????(?1T/2?jn?0tjn?0t (2-20) x(t)etdt)e??T/2T2?，当周期T趋向于无穷大时，其频率间隔△?T周期信号频谱谱线的间隔????0?趋于无穷小，谱线无限靠近，离散变量n?0演变为连续变量?，导致离散谱线的顶点演变为连续的曲线，求和符号∑就变为积分符号。因此，非周期信号的频谱是连续的。将以上所说的变换即，T??, ???d?, n?0??, n?-??????-?, ?T/2-T/2?????带人上式，得
x(t)???d??1?(?x(t)e?j?tdt)ej?t??(?x(t)e?j?tdt)ej?td? (2—21) ??2?????2????这就是傅里叶积分。上式括号里面的积分，积分变量是时间t，故积分之后只是?的函
数，记作X(?)，得到
X(?)? x(t)?以上两式也可以写为
12??????x(t)e?j?tdt (2—22)
???X(?)ej?td? (2—23)
?X(?)??x(t)e?j?tdt
??x(t)?FT12?????X(?)ej?td?
在数学上，称X(?)为x(t)的傅里叶变换，称x(t)为X(?)的傅里叶逆变换，两者互称为傅里叶变换对。表示为x(t)?X(?)，简写为x(t)?X(?)。记作F[x(t)]=X(?)，
IFTF-1[X(?)]=x(t)。
需要说明的是，以上得到傅里叶变换的定义式并没有进行严格的数学推导。在数学上，傅里叶变换存在的条件比能够进行傅里叶级数展开的条件更严格，它不但要求函数满足狄里赫利条件，还要满足函数在无限区间上绝对可积的条件，即
????x(t)dt收敛。
将??2?f带入式(2—21)中，可以得到以f为变量的傅里叶变换对，表达式如下
X(f)??x(t)e?j2?ftdt (2-24)
???x(t)??X(f)ej2?ftdf (2-25)
???这样，在两个表达式中均不会出现常数因子，使公式简化。
一般X(f)是实变量f的复函数，可以写成
X(f)?X(f)ej?(f) (2-26)
称X(f)为信号x(t)的连续幅值谱，?(f)为信号x(t)的连续相位谱。分别以X(f)、
?(f)为纵坐标，以f为横坐标，便得到信号x(t)的幅频图和相频图。
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