由g(0)≤0,且g(1)≤0得b≤0,3+2a+b≤0, 令Z=a2﹣3b,则b=(a2﹣Z),
当b=(a2﹣Z)过(﹣,0)点时,Z取最小值﹣ 故③正确; 故选:C.
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了利用导数研究函数的单调性,二次函数的图象和性质,难度中档.
二、填空题:本大题4小题,每小题5分,满分20分 13.(5分)函数f(x)=﹣log2
为奇函数,则实数a= 1 .
=﹣+log2
,即可
【分析】由题意,f(﹣x)=﹣f(x),可得﹣﹣log2求出a的值.
【解答】解:由题意,f(﹣x)=﹣f(x),可得﹣﹣log2∴a=±1,
a=﹣1,函数定义域不关于原点对称,舍去. 故答案为1.
=﹣+log2
【点评】本题考查奇函数的定义,考查学生的计算能力,属于中档题.
14.(5分)已知0<x<
,且tan(x﹣
)=﹣,则sinx+cosx= .
【分析】利用两角差的正切公式求出tanx的值,又根据已知条件列出方程组,求解即可得到sinx,cosx的值,代入sinx+cosx计算得答案. 【解答】解:∵tan(x﹣∴又0<x<
=
,则tanx= ,
)=﹣,
∴,解得sinx=,cosx=,
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则sinx+cosx=故答案为:.
.
【点评】本题考查了同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键,是基础题.
15.(5分)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、玩美数),如6=1+2+3;28=1+2+4+7+14;496=1+2+4+8+16+31+62+124+248,此外,它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和,如6=21+22,28=22+23+24,…,按此规律,8128可表示为 26+27+…+212 .
【分析】依据定义,结合可以表示为2的一些连续正整数次幂之和,即可得出结论.
【解答】解:由题意,2n﹣1是质数,2n﹣1(2n﹣1)是完全数, ∴令n=7,可得一个四位完全数为64×(127﹣1)=8128, ∴8128=26+27+…+212, 故答案为:26+27+…+212.
【点评】本题考查合情推理,考查学生分析解决问题的能力,正确理解新定义是关键.
16.(5分)已知双曲线C:
﹣
=1(b>a>0)的右焦点为F,O为坐标原点,
?
=0,则双曲线离心
若存在直线l过点F交双曲线C的右支于A,B两点,使率的取值范围是
≤e< .
【分析】设焦点为F(c,0),设直线AB:y=k(x﹣c),A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线方程和双曲线方程,消去y,运用韦达定理和判别式大于0,由两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,可得k,即可得到离心率的范围. 【解答】解:直线的斜率不存在时,A(c,
),B(c,﹣
),由于OA⊥OB,
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则有x1x2+y1y2=0,可得e=;
焦点为F(c,0),直线AB:y=k(x﹣c), 设A(x1,y1),B(x2,y2),
则联立直线方程和双曲线的方程,可得 (b2﹣a2k2)x2+2ca2k2x﹣a2k2c2﹣a2b2=0, 则△=4c2a4k4+4(b2﹣a2k2)(a2k2c2+a2b2)>0, x1+x2=
,x1x2=
,
则y1y2=k2(x1x2+c2﹣c(x1+x2))=k2?由于OA⊥OB,则有x1x2+y1y2=0, 即有a2b2+a2k2c2+k2(a2b2﹣b2c2)=0, 即有k2=
,
,
∴
∵b>a,∴故答案为
>>e>≤e<
,
, .
【点评】本题考查双曲线的离心率的范围,考查联立直线方程和双曲线方程,消去未知数,运用韦达定理和判别式大于0,考查运算能力,属于中档题和易错题.
三.解答题:本大题共5小题,满分60分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.(12分)△ABC中的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(Ⅰ)求cosB;
(Ⅱ)若c=5,点D为边BC上一点,且BD=6,求△ADC的面积.
【分析】(Ⅰ)由二倍角的正弦公式、正弦定理求出cosC,由二倍角的余弦公式变形求出cosB的值;
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b=4c,B=2C
(Ⅱ)由题意求出b的值,由余弦定理列出方程,化简后求出a的值,由条件求出CD的值,由cosC和平方关系求出sinC,代入三角形的面积公式求出△ADC的面积.
【解答】解:(Ⅰ)由题意得B=2C,则sinB=sin2C=2sinCcosC, 又
b=4c,所以cosC=
=
=
,
所以cosB=cos2C=2cos2C﹣1=; (Ⅱ)因为c=5,
b=4c,所以b=
,
由余弦定理得,b2=a2+c2﹣2accosB 则80=a2+25﹣2×化简得,a2﹣6a﹣55=0, 解得a=11或a=﹣5(舍去), 由BD=6得,CD=5, 由cosC=
得sinC=
=
,
a,
所以△ADC的面积S==
=10.
【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理,二倍角的正弦公式、余弦公式变形等,以及三角形的面积公式的应用,考查方程思想,化简、计算能力.
18.(12分)我们国家正处于老龄化社会中,老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万,其中老人(年龄60岁及以上)人数约有66万,为了了解老人们的健康状况,政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估,健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级,并以80岁为界限分成两个群体进行统计,样本分布被制作成如图表:
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