《复变函数》考试试题（一） dz1、 ?|z?z?1(z?z)n?0|__________.（n为自然数） 022.sinz?cos2z? _________.
3.函数sinz的周期为___________.
f(z)?14.设
z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.
?5.幂级数
?nzn的收敛半径为__________.
n?06.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. lim1?z2?...?zn7.若nlim??zn??z，则n??n?______________.
zRes(ezn,0)?8.
________，其中n为自然数.
9. sinzz的孤立奇点为________ .
limf(10.若z0是f(z)z?zz)?___的极点，则0.
三.计算题（40分）：
f(z)?11. 设
(z?1)(z?2)，求f(z)在D?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.
1dz2. ?|z|?1cosz.
2??13. 设
f(z)??3??7C??zd?，其中
C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i).
w?z?14. 求复数
z?1的实部与虚部.
四. 证明题.(20分) 1. 函数
f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常数，那么它在
D内为常数.
2. 试证: f(z)?z(1?z)在割去线段0?Rez?1的z平面内能分出两
个单值解析分支, 并求出支割线0?Rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.
《复变函数》考试试题（二）
二. 填空题. (20分)
1
1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,z?__
2.
设
f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?C，则
zlim?1?if(z)?________.
3.
?dz|z?z0|?1(z?zn?_________.（n为自然数）
0)?4. 幂级数
?nzn的收敛半径为__________ .
n?05. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是f'(z)的_____零点. 6. 函数ez的周期为__________.
7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________.
8. 设f(z)?11?z2，则f(z)的孤立奇点有_________.
9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.
10. Res(z?1z4,1)?____. 三. 计算题. (40分)
1. 求函数
sin(2z3)的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数
z在正
实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点
z?i处的值.
i3. 计算积分：I???i|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）
的右半圆.
?sinzz?24. 求
(z??dz)22.
四. 证明题. (20分)
1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是f(z)在D内解析.
2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.
《复变函数》考试试题（三）
二. 填空题. (20分) 1. 设f(z)?1z2?1，则f(z)的定义域为___________. 2. 函数ez的周期为_________.
2
3. 若zn?21?n?i(1?1n?n)n，则limn??zn?__________.
4. sin2z?cos2z?___________.
dz5. ?|z?z?0|?1(z?zn_________.（n为自然数）
0)?6. 幂级数
?nxn的收敛半径为__________.
n?07. f(z)?1设
z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.
8. 设
ez??1，则z?___. 9. 若z0是
f(z)的极点，则limz?zf(z)?___.
0z10. Res(ezn,0)?____.
三. 计算题. (40分)
11. 将函数f(z)?z2ez在圆环域0?z??内展为Laurent级数.
??2. 试求幂级数?n!nzn的收敛半径. n?n3. 算下列积分：
?ezdzCz2(z2?9)，其中C是|z|?1.
4. 求z9?2z6?z2?8z?2?0在|z|<1内根的个数.
四. 证明题. (20分) 1. 函数
f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常
数，那么它在D内为常数.
2. 设
f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数
R及M，使得当
|z|?R时
|f(z)|?M|z|n，
证明f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（四）
3
二. 填空题. (20分) 1. 设z?11?i，则Rez?__,Imz?___.
2. 若limzzzn??，则1?z2?...?nn??limn??n?______________.
3. 函数ez
的周期为__________. 4. 函数f(z)?11?z2的幂级数展开式为__________ 5. 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.
6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________. 7. 设
C:|z|?1，则?C(z?1)dz?___.
8. sinzz的孤立奇点为________.
9. 若z0是
f(z)的极点，则limz?zf(z)?___.
010.
(ezReszn,0)?_____________.
三. 计算题. (40分)
1. 解方程z3?1?0.
2. 设f(z)?ezz2?1，求Res(f(z),?).
3.
?z|z|?2(9?z2)(z?i)dz. .
114. 函数f(z)?ez?1?z有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它
的阶数）.
四. 证明题. (20分)
1. 证明：若函数
f(z)在上半平面解析，则函数f(z)在下半平面解
析.
2. 证明z4?6z?3?0方程在1?|z|?2内仅有3个根.
《复变函数》考试试题（五）
二. 填空题.（20分） 1. 设
z?1?3i，则|z|?__,argz?__,z?__.
4
2. 当z?___时，ez为实数. 3. 设ez??1，则z?___.
4.
ez的周期为___.
5. 设
C:|z|?1，则?C(z?1)dz?___.
6. Res(ez?1z,0)?____.
7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。 8. 函数f(z)?11?z2的幂级数展开式为_________. 9. sinzz的孤立奇点为________.
10. 设C是以为a心，r为半径的圆周，则
?1C(z?a)ndz?___.
（n为自然数） 三. 计算题. (40分)
z?11. 求复数z?1的实部与虚部.
2. 计算积分：
I??LRezdz，
在这里L表示连接原点到1?i的直线段. 2?3.
求积分：I??d?01?2acos??a2，其中0 4. 应用儒歇定理求方程z??(z)，在|z|<1内根的个数，在这里 ?(z)在|z|?1上解析，并且|?(z)|?1. 四. 证明题. (20分) 1. 证明函数f(z)?|z|2除去在z?0外，处处不可微. 2. 设 f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R 及M，使得当 |z|?R时 |f(z)|?M|z|n， 5 证明:f(z)是一个至多n次的多项式或一常数. 《复变函数》考试试题（六） 1. 一、填空题（20分） 1. 若zn?2nn?1?n?i(1?1n)，则limzn?___________. 2. 设 f(z)?1z2?1，则 f(z)的定义 域 为 ____________________________. 3. 函数sinz的周期为_______________________. 4. sin2z?cos2z?_______________________. ??5. 幂级数 ?nzn的收敛半径为________________. n?06. 若z0是f(z)的m阶零点且m?1，则z0是f?(z)的____________零点. 7. 若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是______________. 8. 函数f(z)?z的不解析点之集为__________. 9. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为___________. 10. 公式eix?cosx?isinx称为_____________________. 二、计算题（30分） n1、lim?2?i?n????6??. 2、设f(z)??3?2?7??1C??zd?，其中C??z:z?3?，试求f?(1?i). 3、设f(z)?ezz2?1，求Res(f(z),i). 、求函数sinz34z6在0?z??内的罗朗展式. 5、求复数w?z?1z?1的实部与虚部. ?6、求e?3i的值. 三、证明题（20分） 1、 方程z7?9z6?6z3?1?0在单位圆内的根的个数为6. 2、 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析，v(x,y)等于常数， 则f(z)在D恒等于常数. 6 3、 若z的m阶零点，则z10是f(z)0是f(z)的m阶极点. ６．计算下列积分．（８分） sinz2(1) ?z?2 (2) (z??dz；2?z?2z?4z2(z?3)dz． 2)７．计算积分 ?2?d?05?3cos?．（６分） ８．求下列幂级数的收敛半径．（６分） ?)n?(1) ?(1?izn； (2) (n!)2nn?1?nz． n?1n９．设f(z)?my3?nx2y?i(x3?lxy2)为复平面上的解析函数，试确定l，m，n的值．（６分） 三、证明题． １．设函数f(z)在区域D内解析，f(z)在区域D内也解析，证明f(z)必为常数．（５分） ２．试证明az?az?b?0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数．（５分） 试卷一至十四参考答案 《复变函数》考试试题（一）参考答案 二．填空题 1. ??2?in?1?0n?1 ； 2. 1； 3. 2k?，(k?z)； 4. z??i； 5. 1 6. 整函数； 7. ?； 8. 1(n?1)!； 9. 0； 10. ?. 三．计算题. 1. 解 因为0?z?1, 所以0?z?1 ? f(z)?111n1?zn(z?1)(z?2)?1?z?2(1?z?)?z?n?02?(). n?0222. 解 因为 z??Resf(z)?21?limcosz?lim??1, z?2z??2z??2?sinz7 z??Resf(z)?lim2z???2z???2cosz?lim1?1. z???2?sinz所以 ?1z?2coszdz?2?i(Resf(z)?Resf(z)?0. z???2z??23. 解 令?(?)?3?2?7??1, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在z?3内, f(z)???(?)c??zdz?2?i?(z). 所以f?(1?i)?2?i??(z)z?1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i). 4. 解 令z?a?bi, 则 w?z?122a(?1?z?1?1?z?1?1?bi)(a?12)?b2?1?2a(?1)b2(a?21)?b2?a(?21)?. b2 故 Re(z?12(a?z?1)?1?1)z?12b(a?1)2?b2, Im(z?1)?(a?1)2?b2. 四. 证明题. 1. 证明 设在D内f(z)?C. 令f(z)?u?iv,则f(z)2?u2?v2?c2. 两边分别对x,y求偏导数, 得 ??uux?vvx?0(1)?uuy?vvy?0(2 )因为函数在D内解析, 所以ux?vy,uy??vx. 代入 (2) 则上述方程组变为 ??uux?vvx?0. 消去u2vux得, (u2?v)vx?0. ?x?uvx?01) 若u2?v2?0, 则 f(z)?0 为常数. 2) 若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 C.?R.方程有ux?0, uy?0, vy?0. 所以u?c1,v?c2. (c1,c2为常数). 所以f(z)?c1?ic2为常数. 2. 证明f(z)?z(1?z)的支点为z?0,1. 于是割去线段0?Rez?1的 z平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支. 由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到z?0,1 时, 只有z的幅角 8 增加?. 所以 ?f(z)?z(1?z)的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 2?于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在z??1的幅角为, 则f(z)?z?reii??2k?2,(k?0,1). 又因为在正实轴去正实值，所以k?0. ?4 所以f(i)?e. 2?故f(?1)?2e2i?2i. 《复变函数》考试试题（二）参考答案 二. 填空题 1.1，??2， i； 2. 3?(1?sin2)i； 3. ??2?in?1； 4. 1；?0n?15. m?1. 6. 2k?i，(k?z). 7. 0； 8. ?i； 9. R；10. 0. 三. 计算题 1. 解 sin(2z3?)??(?1)n(2z3)2n?1?(?1)n22n?1z6n?3n?0(2n?1)!??. n?0(2n?1)!2. 解 令z?rei?. 3. 单位圆的右半圆周为z?ei?, ??2????2. 所以 ?i??2i?i?2?izdz????de?e???2i. 224. 解 ?sinzz?2(z??dz)2?2?i(sinz)?z???2?icosz?? 22z2=0. 四. 证明题. 1. 证明 (必要性) 令f(z)?c1?ic2,则f(z)?c1?ic2. (c1,c2为实常数). 令u(x,y)?c1,v(x,y)??c2. 则ux?v y?uy?vx?0. 即u,v满足C.?R., 且ux,vy,uy,vx连续, 故f(z)在D内解析. (充分性) 令f(z)?u?iv, 则 f(z)?u?iv, 因为f(z)与f(z)在D内解析, 所以 ux?vy,uy??vx, 且ux?(?v)y??vy,uy??(?vx)??vx. 比较等式两边得 ux?vy?uy?vx?0. 从而在D内u,v均为常数,故 f(z)在D内为常数. 2. 即要证“任一 n 次方程 ann?10z?a1z?????an?1z?an?0(a0?0) 9 有且只有 n个根”. 证明 令 f(z)?a0zn?a1zn?1?????an?1z?an?0, 取 ?1cnn!(n?1n)n?11?limn??lim(n?)?limn(?1e. )2. 解 limn??cn??nn??n??(n?1)!nnn?1?a?????an???R?max?1,1?, 当z在C:z?R上时, 有 所以收敛半径为e. ??a0???(z)?an?11R?????an?1R?an?(a1?????an)Rn?1?a0Rn. ?f(z). 由儒歇定理知在圆 z?R 内, 方程a0zn?a?11zn?????an?1z?an?0 与a0zn?0 有相 同个数的根. 而 a0zn?0 在 z?R 内有一个 n 重根 z?0. 因此n次方程在z?R 内有n 个根. 《复变函数》考试试题（三）参考答案 二.填空题. 1.?zz??i,且z?C?; 2. 2k?i(k?z); 3. ?1?ei; 4. 1; 5. ??2?in?1?0n?1; 6. 1; 7. ?i; 8. z?(2k?1)?i; 9. ?; 10. 1(n?1)!. 三. 计算题. 12??n?21. 解 zez?z2(1?11zz?2!z2????)??. n?0n! 3. 解 令 f(z)?ezez1z2(z2?9), 则 Rez?0sf(z)?z2?9??. z?09故原式?2?iRez?0sf(z)??2?i9. 4. 解 令 f(z)?z9?2z6?z2?2, ?(z)??8z. 则在C: z?1上f(z)与?(z)均解析, 且f(z)?6??(z)?8, 故 由儒歇定理有 N(f??,C)?N(?f?,C?). 即在1 z?1 内, 方程只有一个根. 四. 证明题. 1. 证明 证明 设在D内f(z)?C. 令f(z)?u?iv,则f(z)2?u2?v2?c2. 两边分别对x,y求偏导数, 得 ??uux?vvx?0(1)?uuy?vvy?0(2 ) 因为函数在 D内解析, 所以ux?vy,uy??vx. 代入 (2) 则上述方程组变 为 ??uux?vvx?0?uv. 消去u, (u2?v2x得)vx?0. ?vuxx?010 1) u?v?0, 则 f(z)?0 为常数. 2) 若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 C.?R.方程有ux?0, uy?0, 221. (n?1)!三. 计算题. 1. vy?0. 所以u?c1,v?c2. (c1,c2为常数). 所以f(z)?c1?ic2为常数. 2. 证明 取 r?R, 则对一切正整数 k?n f(k)(0)?k!f(z)k!Mrn2??z?rzk?1dz?rk. 于是由r的任意性知对一切k?n均有f(k)(0)?0. n 故f(z)??cnzn, 即f(z)是一个至多n次多项式或常数. k?0 《复变函数》考试试题（四）参考答案 . 二. 填空题. 1. 112, 2; 2. ?; 3. 2k?i(k?z); ??(?1)nz2n(z?1); 5. 整函数; n?06. 亚纯函数; 7. 0; 8. z?0; 9. ?; 解:z3??1?z?cos2k???2k???3?isin3k?0,1,2z?cos??1313?isin3?2?2iz2?cos??isin???1z5?时, 3?cos3?isin5?133?2?2i z2. 解 Rez?1sf(z)?ez?1?e, Reseze?1. z?12z??1f(z)?z?1?z??1?2 故原式?2?i(Resf(z)?Resf(z))??i(e?e?1z?1z??1). 3. 解 原式?2?iResf(z)?2?iz?z??i9?z2?. z??i511z?ez?4. 解 ez?1?1z=z(ez?1)，令z(ez?1)?0，得z?0,z?2k?i，k??1,?2,? 4. 11z?ez?11?ezlim而 z?0(ez?1?z)?limz?0(ez?1)z?limz?0ez?1?zez ?ez 10. ?lim1z?0ez?ez?zez??2 ?z?0为可去奇点 11 当z?2k?i时， (k?0),z?ez?1?0 ?(ez?1)z?? 而 z?2k?i?ez?1?zezz?2k?i?0 ?z?2k?i为 一阶极点. 四. 证明题. 1. 证明 设F(z)?f(z), 在下半平面内任取一点z0, z是下半平面内异于z0的点, 考虑 limF(z)?F(z0)f(z)?f(z0)f(z)?f(z0z?z?lim?lim). 0z?z0z?z0z?z0z?z0z?z0而z0, z在上半平面内, 已知f(z)在上半平面解析, 因此 F?(z0)?f?(z0), 从而F(z)?f(z)在下半平面内解析. 2. 证明 令f(z)??6z?3, ?(z)?z4, 则f(z)与?(z)在全平面解析, 且在C1:z?2上, f(z)?15??(z)?16, 故在z?2内N(f??,C1)?N(?,C1)?4. 在C2:z?1上, f(z)?3??(z)?1, 故在z?1内N(f??,C2)?N(f,C2)?1. 所以f??在1?z?2内仅有三个零点, 即原方程在1?z?2内仅有三个根. 《复变函数》考试试题（五）参考答案 一. 判断题. 1．√２．√ ３．×４．√５．× 6．× ７．× ８．√ ９．√ 10．√. 二. 填空题. 1.2, ??3, 1?3i; 2. a?2k?i(k?z,a为任意实数); 3. (2k?1)?i, (k?z); 4. 2k?i,(k?z); 5. 0; 6. 0; ? 7. 亚纯函数; 8. ?(?1)nz2n(z?1); 9. 0; 10. n?0??2?in?1?0n?1. 三. 计算题. 1. 解 令z?a?bi, 则 w?z?1z?1?1?22a(?1?bi)2a(?1)b2z?1?1?(a?12)?b2?1?(a?21)?b2?a(?21)?. b2 故 Re(z?12(a?1)z?1)?1?(a?1)2?b2, Im(z?1z?1)?2b(a?1)2?b2. 2. 解 连接原点及1?i的直线段的参数方程为 z?(1?i)t0?t?1, 故?cRezdz??10?Re[(1?i)t]?(1?i)dt?(1?i)?11?i0tdt?2. 3. 令z?ei?, 则d??dziz. 当a?0时 12 1?2acos??a2?1?a(z?z?1)?a2?故I?(z?a)(1?az), z 《复变函数》考试试题（六）参考答案 二、填空题：1. ?1?ei 2. z??1 3. 2? 4. 1 5. 1dz1, 且在圆内只以f(z)?z?1i?z?1(z?a)(1?az)(z?a)(1?az)z?a为一级极点, 在 z?1上无奇点, 故 Rez?asf(z)?11?az?12,(0?a?1), 由残数定理有 z?a1?aI?1i2?iRez?asf(z)?2?1?a2,(0?a?1). 4. 解 令f(z)??z, 则f(z),?(z)在z?1内解析, 且在C:z?1上, ?(z)?1?f(z), 所以在z?1内, N(f??,C)?N(f,C)?1, 即原方程在 z?1内只有一个根. 四. 证明题. 1. 证 明 因 为 u(x,y)?x2?y2,v(x,y)?0, 故ux?2x,uy?2y,vx?vy?0. 这四个偏导数在z平面上处处连续, 但只在z?0处满足C.?R.条件, 故f(z)只在除了z?0外处处不可微. 2. 证明 取 r?R, 则对一切正整数 k?n 时, f(k)(0)?k!f(z)k!Mrn2??z?rzk?1dz?rk. 于是由r的任意性知对一切k?n均有f(k)(0)?0. n 故f(z)??cnzn, 即f(z)是一个至多n次多项式或常数. k?0 1 6. m?1阶 7. 整函数 8. 9. 10. 欧拉公式 三、计算题： 1. 解：因为 2?i6?19?136?56?1, 故lim(2?in??6)n?0. 2. 解： 1?i?2?3, ?f(z)?1f(?)2?i?C??zd? ??3?2?7??1C??zd?. 因此 f(?)?2?i(?32??7? 1) 故f(z)?2?i(3z2?7z?1) f?(1?i)?2?i(6z?7)1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i). 0 13 ez3.解：z2?1?ez2?(1z?i?1z?i) ),i)?ei ?Res(f(z2. ?(?1)n(z3)2n?14.解：sinz3??,n?0(2n?1)! ?sinz3?(?1)n 6n?3z6??n?0(2n?1)!z. 5．解：设z?x?iy, 则w?z?1x?1?iy(x2?y2?1)?2yiz?1?z?1?iy?(x?1)2?y2. ?Rew?x2?y2?1(x?1)2?y2,Imw?2y(x?1)2?y2. ?6．解：e?3i?cos(??3)?isin(??3)?12(1?3i). 四、1. 证明：设f(z)?9z6,?(z)?z7?6z3?1, 则在z?1上，f(z)?9,?(z)?1?6?1?8, 即有f(z)??(z). 根据儒歇定理，f(z)与f(z)??(z)在单位圆内有相同个数的零点，而f(z)的零点个数为6，故z7?9z6?6z3?1?0在单位圆内的根的个数 为6. 2.证明：设v(x,y)?a?bi，则vx?vy?0, 由于f(z)?u?iv在内D解析，因此?(x,y)?D有 ux?vy?0, uy??vx?0. 于是u(x,y)?c?di故f(z)?(a?c)?(b?d)i，即f(z)在内D恒为常数. 3.证明：由于z0是f(z)的m阶零点，从而可设 f(z)?(z?z0)mg(z)， 其中g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)?0， 于是 1f(z)?11(z?zm? 0)g(z)由g(z10)?0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)?0，因此 g(z)在内D11解析，故z0为 f(z)的m阶极点. 14 《复变函数》模拟考试试题 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（4x10=40分）： 1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。（ ） 2、有界整函数必在整个复平面为常数。（ ） 3、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续。( ) 4、cos z与sin z在复平面内有界。（ ） 5、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点。（ ） 6、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件，则f(z)在z0解析。（ ） 7、若limz?zf(z)存在且有限，则z0是函数的可去奇点。（ ） 08、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有?Cf(z)dz?0。（ ） 9、若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数。（ ） 10、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数。（ ） 二、填空题（4x5=20分） 1、若C是单位圆周，n是自然数，则?1C(z?z0)ndz?__________。 2、设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?C，则 zlim?1?if(z)?_________。 3、设f(z)?1z2?1，则f(z)的定义域为___________。 ??4、?nzn的收敛半径为_________。 n?0、Res(ez5zn,0)?_____________。 三、计算题（8x5=40分）： f(z)?11、设(z?1)(z?2)，求f(z)在D?{z:0?|z|?1}内的罗朗展 式。 15 ?1dz|zez?1|?1sinzdz?2、求 2?i?|z|?3(z?1)(z?4)。 3、求函数sin(2z3)的幂级数展开式。 4、求f(z)?1(z?1)(z?2)在2?|z|???内的罗朗展式。5、求z4?5z?1?0，在|z|<1内根的个数。 《复变函数》考试试题（二） 一、判断题（4x10=40分）： 1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续。（ ） 2、有界整函数必为常数。（ ） 3、若{zn}收敛，则{Re zn}与{Im zn}都收敛。( ) 4、若f(z)在区域D内解析，且f'(z)?0，则f(z)?C（常数）。（） 16 5、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（ ） 6、若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件。（ ） 7、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析。（ ） 8、若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析。（ ） 9、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。（ ） 10、cos z与sin z的周期均为2k?。（ ） 二、填空题（4x5=20分） 1、?dz|z?z?0|?1(z?zn__________。 0)2、设f(z)?1z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________。 3、若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________。 4、sin2z?cos2z? _________。 5、若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。 三、计算题（8x5=40分）： 1、?1|z|?1coszdz. 2、求Res(eiz1?z2,i). n3、lim?2?i?n????6??. 4、求f(z)?1(z?1)(z?2)在2?|z|???内的罗朗展式。5、求z9?2z6?z2?8z?2?0在|z|<1内根的个数。 17 《复变函数》考试试题（三） 一、判断题（3x10=30分）： 1、若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析。（ ） 2、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。（ ） 3、如z0是函数f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在。( ) z?z04、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析。（ ） 5、若函数f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)在D内连续，则二元函数u(x,y)与(x,y)。（ ） 6、函数sinz与cosz在整个复平面内有界。（ ） 7、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（ ） 8、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点。（ ） 9、存在整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部。（ ） 18 10、若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数。（ ） 二、填空题（2x10=20分） 1、若z?2n?n1?n?i(1?1n)n，则limn??zn?__________。 2、若C是单位圆周，n是自然数，则?1C(z?zdz?__________。 0)n3、函数sinz的周期为___________。 4、设f(z)?1z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________。 ?5、幂级数?nxn的收敛半径为__________ n?06、若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是f'(z)的_____零点。 7、若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内_________。、 8、函数f(z)?|z|的不解析点之集为________。 9、Res(ezzn,0)?____________，其中n为自然数。 10、公式eix?cosx?isinx称为_____________. 三、计算题（8x5=40分）： 1、设f(z)??3?2?7??1C??zd?，其中C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i). 2、求?ez?11|z|?sinzdz??dz12?i|z|?3(z?1)(z?4)。 3、设f(z)?ezz2?1，求Res(f(z),?). 14、求函数ez在0?|z|???内的罗朗展式。 5、求复数w?z?1z?1的实部与虚部。 6、求??1?i?22?2?????1?i??2??. 四、证明题（6+7+7=20分）： 1、设?是函数f(z)的可去奇点且limz??f(z)?A?C，试证： Res(f(z),?)??limz??z(f(z)?A)。 2、若整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部且f(0)?0，则 19 f(z)?0(?z?C)。 3、证明z4?6z?3?0方程在1?|z|?2内仅有3个根。 《复变函数》考试试题（四） 一、判断题（3x10=30分）： 1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。（ 2、如果z0是f(z)的本性奇点，则limz?zf(z)一定不存在。（ ） 03、若zlim?zf(z)存在且有限，则z0是f(z)的可去奇点。( ) 04、若函数f(z)在z0可导，则它在该点解析。（ ） 5、若数列{zn}收敛，则{Rezn}与{Imzn}都收敛。（ ） 6、若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析。（ ） 7、若幂级数的收敛半径大于0，则其和函数必在收敛圆内解析。（ ） 8、存在整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部。（ ） 9、若函数f(z)是区域D内的解析函数，且在D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数。（ ） 10、|sinz|?1(?z?C)。（ ） 二、填空题（2x10=20分） 1、函数ez的周期为__________。 2、幂级数 ???nzn的和函数为__________。 n?0 3、函数ez的周期为__________。 20 ）4、设f(z)?11?z2，则f(z)的孤立奇点有__________。 的收敛半径为_________。 ?5、幂级数?nxn的和函数为____________。 n?06、若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。 7、若limz?z?...?zn??zn??，则lim12nn??n?______________。 、Res(ez8zn,0)?________，其中n为自然数。 9、方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________。 10、函数f(z)?11?z2的幂级数展开式为__________。 三、计算题（5x6=30分）： 1、?z|z|?2(9?z2)(z?i)dz. 2、求Res(eiz1?z2,i). n3、lim?n???2?i??6??. 14、求函数ez在0?|z|???内的罗朗展式。 5、求方程z8?4z5?z2?1在单位圆内零点的个数。 n6、求lim?1?i?n????2??。 四、证明题（6+7+7=20分） 1、设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是f(z)在D内解析。 2、如果函数f(z)在D?{z:|z|?1}上解析，且|f(z)|?1(|z|?1)，则|f(z)|?1(|z|?1)。 3、设方程z8?4z5?z2?1?0 证明：在开单位圆内根的个数为5。 21 《复变函数》考试试题（五） 一、判断题（3x10=30分）： 1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续。（ ） 2、若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析。（ ） 3、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件。( ) 4、若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f'(z)?0(?z?D)。（ ） 5、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有?Cf(z)dz?0。（ ） 6、若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有 ?Cf(z)dz?0。（ ） 7、若f'(z)?0(?z?D)，则函数f(z)在是D内的单叶函数。（ ） 8、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/ f(z)的m阶极点。（ ） 9、如果函数f(z)在D?{z:|z|?1}上解析，且|f(z)|?1(|z|?1)， 则|f(z)|?1(|z|?1)。（ ） 10、|sinz|?1(?z?C)。（ ） 二、填空题（2x10=20分） 1、若zn?2n?1?n?i(1?1n)n，则zlim???zn?__________。 2、设f(z)?1z2?1，则f(z)的定义域为__________。 3、函数sin z的周期为___________。 4、sin2z?cos2z?________。 ??5、幂级数?nzn的收敛半径为_____________。 n?06、若z0是f(z)的m阶零点且m>1，则z0是f'(z)的______零点。 22 7、若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是_______。 8、函数f(z)=|z|的不解析点之集为__________。 9、方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为_________。 1、方程z7?9z6?6z3?1?0在单位圆内的根的个数为6。 2、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析，v(x,y)等于常10、公式eix?cosx?isinx称为__________。 三、计算题（5x6=30分）： n1、lim?2?i?n????6??. 2、设f(z)??3?2?7??1C??zd?，其中C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i).、设f(z)?ez3z2?1，求Res(f(z),i). sinz34、求函数z6在0?|z|??内的罗朗展式。 5、求复数w?z?1z?1的实部与虚部。 ?6、求e?3i的值。 四、证明题（6+7+7=20分） 数，则f(x)在D内恒等于常数。 3、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点。 《复变函数》考试试题（六） 23 一、判断题（3x8=24分） 1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。（ ） 2、若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件。4、sin2z?cos2z?________。 5、幂级数?n2zn的收敛半径为_____________。 ??2（ ） 3、如果z0是f(z)的可去奇点，则limz?zf(z)一定存在且等于零。( ) 04、若函数f(z)是区域D内的单叶函数，则f'(z)?0(?z?D)。（ ）5、若函数f(z)是区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数。（ ） 6、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数。（ ） 7、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/ f(z)的m阶极点。（ ） 8、|sinz|?1(?z?C)。（ ） 二、填空题（2x10=20分） 1、若z1n?sin1?n?i(1?1n)n，则nlim???zn?__________。 2、设f(z)?zz2?1，则f(z)的定义域为__________。 3、函数ez的周期为___________。 n?06、若z0是f(z)的m阶零点且m>1，则z0是f'(z)的______零点。 7、若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是_______。 8、函数f(z)=|z|的不解析点之集为__________。 9、方程3z8?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为_________。 ez10、Res(zn,0)?_____________。 三、计算题（5x6=30分） 221、求??1?i??1?i??2?????2??. 2、设f(z)??3?2?7??1C??zd?，其中C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i). 3、设f(z)?ezz2，求Res(f(z),0). 24 4、求函数 z(z?1)(z?2)在1?|z|?2内的罗朗展式。 5、求复数w?z?1z?1的实部与虚部。 6、利用留数定理计算积分：?2?dx0a?cosx,(a?1). 四、证明题（6+7+7=20分） 1、方程24z7?9z6?6z3?z3?1?0在单位圆内的根的个数为7。 2、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析， |f(z)|等于常数，则f(z)在D内恒等于常数。 3、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点。 五、计算题（10分） 求一个单叶函数，去将z平面上的上半单位圆盘{z:|z|?1,Imz?0}保形映射为w平面的单位圆盘{w:|w|?1}。 《复变函数》考试试题（七） 一、 判断题（2x10=20分） 1、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析。（ ） 2、若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析。（ ） 3、如果z0是f(z)的极点，则limz?zf(z)一定存在且等于无穷大。( ) 04、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有?Cf(z)dz?0。（ ） 5、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（ ） 25 6、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有?Cf(z)dz?0。（ ） 7、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某一条曲线上恒为常 数，则f(z)在区域D内恒等于常数。（ ） 8、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/ f(z)的m阶极点。（ ） 9、如果函数f(z)在D?{z:|z|?1}上解析，且|f(z)|?1(|z|?1)，则 |f(z)|?1(|z|?1)。（ ） 10、limezz????。（ ） 二、填空题（2x10=20分） 1、若znn?sin1?n?i(1?2n)n，则zlim???zn?__________。 2、设f(z)?1sinz，则f(z)的定义域为__________。 3、函数sin z的周期为___________。 4、sin2z?cos2z?________。 ?? 5、幂级数?nzn的收敛半径为_____________。 n?06、若z0是f(z)的m阶零点且m>1，则z0是f'(z)的______零点。 7、若函数f(z)在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是_______。 8、函数 f(z)?z的不解析点之集为__________。 9、方程20z8?11z3?3z?5?0在单位圆内的零点个数为_________。 、Res(ez10z2?1,1)?_____________。 三、计算题（5x6=30分） n1、lim?n???2?i??6??. 2、设f(z)??3?2?7??1C??zd?，其中C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i). f(z)?ez3、设z2?1，求Res(f(z),?i). 4、求函数 z(z?1)(z?2)在1?|z|?2内的罗朗展式。 5、求复数w?z?1z?1的实部与虚部。 26 6、利用留数定理计算积分???x2?x?2??x4?10x2?9dx。 四、证明题（6+7+7=20分） 1、方程z7?9z6?6z3?1?0在单位圆内的根的个数为6。 2、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析， u(x,y)等于常数，则f(z)在D内恒等于常数。 3、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点。 五、计算题（10分） 求一个单叶函数，去将z平面上的带形区域{z:?2?Imz??}保形 映射为w平面的单位圆盘{w:|w|?1}。 《复变函数》考试试题（八） 二、 判断题（4x10=40分）： 1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。（ ） 2、如果z0是f(z)的本性奇点，则limz?zf(z)一定不存在。（ ） 03、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续。( ) 4、cos z与sin z在复平面内有界。（ ） 5、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点。（ ） 6、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件，则f(z)在z0解析。（ ） 7、若limz?zf(z)存在且有限，则z0是函数的可去奇点。（ ） 08、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有?Cf(z)dz?0。（ ） 9、若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数。（ ） 27 10、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数， 则在区域D内恒等于常数。（ ） 二、填空题（4x5=20分） 1、函数ez的周期为__________。 ??2、幂级数?nzn的和函数为__________。 n?03、设f(z)?1z2?1，则f(z)的定义域为___________。???4、nzn的收敛半径为_________。 n?0Res(ez5、zn,0)?_____________。 三、计算题（8x5=40分）： 1、?z|z|?2(9?z2)(z?i)dz. 2、求Res(eiz1?z2,?i). ?1?i?n?1?in?3、 ?2??????2??。 4 设u(x,y)?ln(x2?y2)。求v(x,y)，使得f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为解析函数，且满足f(1?i)?ln2。其中z?D（D为复平面内的区域）。 5、求z4?5z?1?0，在|z|<1内根的个数 28 则 z0也是P(z) 的根。 《复变函数》考试试题（九） 一、判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，2?5=10分） 1．当复数z?0时，其模为零，辐角也为零。 （ ） 2．若zn?10是多项式P(z)?annz?an?1z?????a0（an?0）的根， （ ） 3．如果函数f(z)为整函数，且存在实数M，使得Ref(z)?M，则f(z)为 一常数。 （ ） 4．设函数f1(z)与f2(z)在区域D内解析，且在D内的一小段弧上相等， 则对任意的z?D，有 f1(z)?f2(z)。 （ ） 5．若z?? 是函数f(z)的可去奇点，则Rez??sf(z)?0。 （ ） 二、填空题（每题2分） 1． i2?i3?i4?i5?i6?____。 2．设z?x?iy?0，且???argz??，??y2?arctanx??2，当29 x?0,y?0时，argz?arctanyx?_______。 3．函数w?1z将z平面上的曲线(x?1)2?y2?1变成w平面上的曲线__________。 4 ． 方 程 z4?a4?0(a?0)的 不 同 的 根 为 ________________________。 5．(1?i)i__________________________________。 ?6 ． 级 数 ?[2?(?1)n]zn的收敛半径 为 n?0________________________。 7．cosnz在|z|?n（n为正整数）内零点的个数为 ________________________。 8．函数f(z)?6sinz3?z3(z6?6)的零点z?0的阶数为______。 9．设a为函数 f(z)??(z)?(z)的一阶极点，且 ?(a)?0,?(a)?0,??(a)?0，则 Rez?asf(z)?___________________。 10．设a为函数 f(z)的m阶极点，则 Ref?(z)z?asf(z)?___________________。 三、计算题。（50分） 1．设 u(x,y)?1ln(x2?y22)。求v(x,y)，使得 f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为解析函数，且满足f(1?i)?12ln2。其中z?D（D为复平面内的区域）。（15分） 2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）。（10分） 1z?1 （1） tan2z； （5分） （2）eez?1。（5分） 3．计算下列积分。（15分） 30 （1） ?z19|z|?4(z2?1)4(z4?2)3dz（8分）， （2）??d?01?cos2?（7分）。 4．叙述儒歇定理并讨论方程z7?5z4?z2?2?0在|z|?1内根的个数。（10分） 四．证明题。（20分） 1．设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)是上半复平面内的解析函数，证明 f(z)是下半复平面内的解析函数。（10分） 2．设函数 f(z)在|z|?R内 解 析 ， 令 M(r)?max|z|?r|f(z)|,(0?r?R)。证明：M(r)在区间[0,R)上是 一个上升函数，且若存在r1及r2（0?r1?r2?R），使 M(r1)?M(r2)，则f(z)?常数。（10分） 《复变函数》试卷(十) 一、填空题。(每题2分) 1、设z?r(cos??isin?)，则 1z?_________________。 2、设函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，A?u0?iv0，z0?x0?iy0， 则 zlim?zf(z)?A的充 要 条件是 0___________________。__ ___3、设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意 一条简单闭曲线C的积分?Cf(z)dz?_______。 4、设z?a为f(z)的极点，则limz?af(z)?______。 5、设f(z)?zsinz，则z?0是f(z)的______阶零点。 31 6、设f(z)?11?z2，则f(z)在z?0的邻域内的泰勒展式为_______________________。 7、设|z?a|?|z?a|?b，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲 线是______。 8、设z??sin?6?icos?6，则z的三角表示式为 _____________。__ ?9、?40zcoszdz?___________________。 ?z10、 设f(z)?ez2，则f(z)在z?0处的留数为_________。 二、计算题。 1、计算下列各题。(9分) (1) cosi; (2) ln(?2?3i); (3) 33?i 2、求解方程z3?8?0。(7分) 3、设u?x2?y2?xy，验证u是调和函数，并求解析函数 f(z)?u?iv，使之f(i)??1?i。(8分) 4、计算积分。(10分) (1) ?C(x2?iy)dz，其中C是沿y?x2由原点到点z?1?i的曲 线。 (2) ?1?i0[(x?y)?ix2]dz。积分路径为自原点沿虚轴到i，再由i沿水平方向向右到1?i。 5、试将函数f(z)?1(z?1)(z?2)分别在圆环域0?|z|?1和 1?|z|?2内展开为洛朗级数。(8分) 6 、计算下列积分。 (8分) (1) ?5z?2sin2|z|?2z(z?1)2dz; (2) ?z|z|?4z2(z?1)dz. 7、计算积分???x2??1?x4dx。(8分) 8、求下列幂级数的收敛半径。(6分) 32 ??（1） ?nzn?1 （2）(?1)nznn?1? n?1n!9、讨论f(z)?|z|2的可导性和解析性。(6分) 三、 证明题。 1、设函数f(z)在区域D内解析，|f(z)|为常数，证明f(z)必为 常数。(5分) 2、试证明az?az?b?0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为 实常数。(5分) 《复变函数》考试试卷(十一) 一、填空题。(每题2分) 1、设z?r(cos??isin?)，则zn?_________________。 2、设函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，A?u0?iv0，z0?x0?iy0，则 zlim?zf(z)?A的充要条件是 0___________________________。 3、设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分?Cf(z)dz?_______。 4、设z?a为f(z)的可去奇点，则limz?af(z)为。 5、设f(z)?z2(ez2?1)，则z?0是f(z)的______阶零点。 6、设f(z)?11?z2，则f(z)在z?0的邻域内的泰勒展式为_______________________。 33 7、设|z?a|?|z?a|?b，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲线是______。 8、设z?si?n?ico?s，则z的三角表示式为_____________。__ 9、?1?i1zezdz?___________________。 10、设f(z)?z2sin1z，则f(z)在z?0处的留数为_________。 二、计算题。 1、计算下列各题。(9分) (1) Ln(?3?4i); (2) e?1??i6; (3) (1?i)1?i 2 求解方程z3?2?0。(7分) 3设u?2(x?1)y，验证u是调和函数，并求解析函数 f(z)?u?iv，使之f(2)??i。(8分) 4、计算积分?1?i0[(x?y)?ix2]dz。积分路径为(1)自原点到1?i的 直线段；(2) 自原点沿虚轴到i，再由i沿水平方向向右到1?i。 (10分) 5、试求f(z)?1z?2在z??1的邻域内的泰勒展开式。(8分) 6、计算下列积分。(8分) (1) ?sinz|z|?2(z??dz; (2) ?z2?2|z|?4z2(z?3)dz. 2)2 7、计算积分?2?d?05?3cos?。(6分) 8、求下列幂级数的收敛半径。(6分) ?? ?(1?i)nzn （2）(n!)2（1）zn ?0?nnn?1n9、设f(z)?my3?nx2y?i(x3?lxy2)为复平面上的解析函数，试确定l,m,n的值。(8分) 三、 证明题。 1设函数f(z)在区域D内解析，f(z)在区域D内也解析，证明 f(z)必为常数。(5分) 34 2试证明az?az?b?0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数。(5分) 35