直线与圆的位置关系
1、（福建德化）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、
AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．
DC(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若tan∠ACB=
2，BC=2，求⊙O的半径． 2EOAF
答案：1）直线CE与⊙O相切。
证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴BD∥AD，∠ACB=∠DAC ， 又 ∵∠ACB=∠DCE
B∴∠DAC=∠DCE,连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE，∵∠DCE+∠DEC=900 ∴∠AE0+∠DEC=900 ∴∠OEC=900 ∴直线CE与⊙O相切。
（2）∵tan∠ACB=
AB2?，BC=2 ∴AB=BC?tan∠ACB=2， AC=6 BC2又∵∠ACB=∠DCE ∴tan∠DCE=
2 ∴DE=DC?tan∠DCE=1 2方法一：在Rt△CDE中，CE=CD2?DE2?3， 连接OE，设⊙O的半径为r，
（6?r)2?r2?3 解得：r=则在Rt△COE中，CO2?OE2?CE2即
方法二：AE=CD-AE=1，过点O作OM⊥AE于点M，则AM=
6 411AE= 22126 在Rt△AMO中，OA=AM???cosEAOAB2是半圆4O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O 620．(2010年北京崇文区) ?如图，
于点E，交AC于点C，使?BED??C．
C （1）判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论；
cos?BED?（2）若AC?8，4，求AD的长． 5
【关键词】切线的证明、弦长的计算 【答案】解：（1）AC与eO的相切．证明如下：
∵OC?AD
E D
??AOC??2?90°．
又Q?C??BED??2， ∴?AOC??C?90°． ∴AB?AC
A
O
B
即AC与eO的相切．
（2）解：连接BD．∵AB是eO直径，
??ADB?90?
在Rt?AOC中，?CAO?90?， QAC?8,
C
Q?ADB?90°．cos?C?cos?BED??AO?6,?AB?12
在Rt?ABD中，cos?2?cos?BED?4． 5E D
4， 5A
8．（2010年门头沟区）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，
?AOB?45?,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直 线与⊙O有公共点, 设OP?x，则x的取值范围是 A．－1≤x≤1 B．?2≤x≤2 C．0≤x≤2 D．x＞2 【关键词】圆的切线 【答案】C
O 448?AD?AB?cos?2?12?=．
551 2 O
B
A P B 第8题
19. （2010年门头沟区）已知，如图，直线MN交⊙O于A,B两点，AC是直径， AD平分?CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E． （1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE?6cm，AE?3cm，求⊙O的半径. C
【关键词】圆的切线
D 【答案】（1）证明：连接OD．
O ∵OA=OD，
??OAD??ODA． B N M E A ∵AD平分∠CAM， Q?OAD??DAE， ??ODA??DAE． ∴DO∥MN． QDE?MN，
∴DE⊥OD．………………………………………………………………………………1分 ∵D在⊙O上，
?DC是⊙O的切线．……………………………………………………………………2分
（2）解：Q?AED?90o，DE?6，AE?3，
?AD?DE2?AE2?62?32?35．………………………………………………3分
连接CD．QAC是⊙O的直径，
??ADC??AED?90o． Q?CAD??DAE， ?△ACD∽△ADE．………………………………………………………………4分
?ADAC．
?AEAD?35AC．
?335∴AC?15（cm）．
?⊙O的半径是7.5cm．
1.（2010年台湾省） 图(四)为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，
CD 的度数为何？ A 且与AC交于另一点D。若?A=70?，?B=60?，则 (A) 50 (B) 60 (C) 100 (D) 120 。
D 【关键词】直线和圆的位置关系 【答案】C B C
图(四)
2.（2010年山东省济南市）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作
OH?AC于点H．若OH?2，AB?12，BO?13． 求：（1）⊙O的半径； （2）AC的值． B
O 【关键词】直线和圆的位置关系 【答案】 C H A 解①∵AB是⊙O的切线，A为切点
∴OA⊥AB ………..…………………………1’ 在Rt△AOB中，
?AB2?122AO=OB2=132=5 ………..…….2’
∴⊙O的半径为5
②∵OH⊥AC
∴在Rt△AOH中 AH=
AO2?OH2?22=21 ……….3’ =52又∵OH⊥AC
∴AC=2AH=221 ……………….……..4’
18、（2010年宁波）如图，已知⊙P的半径为2，圆心P
在抛物线y?y ?P 12x?1上运动，当⊙P与x轴相切时，2圆心P的坐标为___________。
O x
答案：（6，2）或（?
6，2）
（2010年重庆市潼南县） 如图，在矩形ABCD中，AB=6 ， BC=4， ⊙O是以AB为直
径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是 .
【关键词】直线与圆的位置关系 【答案】相离
14．(2010重庆市)已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是_____________.
解析：因为圆心O到直线l的距离大于⊙O的半径，所以直线l与⊙O相离. 答案：相离.
1.(2010年山东聊城)如图，已知R t△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．
（1）若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；
（2）取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切．
A D O· B E 第24题
C
【关键词】切线 【答案】（1）∵AB为直径,∴∠ADB=90° AD=3 BD=4 AB=5
由Rt△ABC∽Rt△ABD可得：
ADBD5?420? ∴BC== ABBC33（2）连接OD,
∵BD⊥AC E为BC中点,∴DE=BE,∴∠EBD=∠EDB, ∵OB=OD ∴∠OBD=∠ODB,∵∠OBD+∠EBD=90°,∴∠EDB+∠ODB=90°, ∴ED与⊙O相切.
1. (2010年兰州市)（本题满分10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C
的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC是⊙O的切线；