2018年河南省中考数学试卷解析

【分析】(1)利用一次函数解析式确定C(0,﹣5),B(5,0),然后利用待定系数法求抛物线解析式;

(2)①先解方程﹣x2+6x﹣5=0得A(1,0),再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°,则△AMB为等腰直角三角形,所以AM=2PQ=AM=2

,接着根据平行四边形的性质得到

PQ=4,

,PQ⊥BC,作PD⊥x轴交直线BC于D,如图1,利用∠PDQ=45°得到PD=

设P(m,﹣m2+6m﹣5),则D(m,m﹣5),讨论:当P点在直线BC上方时,PD=﹣m2+6m﹣5﹣(m﹣5)=4;当P点在直线BC下方时,PD=m﹣5﹣(﹣m2+6m﹣5),然后分别解方程即可得到P点的横坐标;

②作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E,如图2,利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB,再确定N(3,﹣2), AC的解析式为y=5x﹣5,E点坐标为(,﹣),利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=﹣x+b,把E(,﹣)代入求出b得到直线EM1的解析式为y=﹣x﹣

则解方程组

得M1点的坐标;作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如

图2,利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,设M2(x,x﹣5),根据中点坐标公式得到

3=,然后求出x即可得到M2的坐标,从而得到满足条件的点M的坐标.

【解答】解:(1)当x=0时,y=x﹣5=﹣5,则C(0,﹣5), 当y=0时,x﹣5=0,解得x=5,则B(5,0),

把B(5,0),C(0,﹣5)代入y=ax2+6x+c得∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5;

(2)①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1,x2=5,则A(1,0), ∵B(5,0),C(0,﹣5), ∴△OCB为等腰直角三角形, ∴∠OBC=∠OCB=45°, ∵AM⊥BC,

∴△AMB为等腰直角三角形, ∴AM=

AB=

×4=2

,解得,

∵以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,AM∥PQ, ∴PQ=AM=2

,PQ⊥BC,

作PD⊥x轴交直线BC于D,如图1,则∠PDQ=45°, ∴PD=

PQ=

×2

=4,

设P(m,﹣m2+6m﹣5),则D(m,m﹣5), 当P点在直线BC上方时,

PD=﹣m2+6m﹣5﹣(m﹣5)=﹣m2+5m=4,解得m1=1,m2=4, 当P点在直线BC下方时,

PD=m﹣5﹣(﹣m2+6m﹣5)=m2﹣5m=4,解得m1=综上所述,P点的横坐标为4或

,m2=

②作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E,如图2, ∵M1A=M1C, ∴∠ACM1=∠CAM1, ∴∠AM1B=2∠ACB,

∵△ANB为等腰直角三角形, ∴AH=BH=NH=2, ∴N(3,﹣2),

易得AC的解析式为y=5x﹣5,E点坐标为(,﹣),

设直线EM1的解析式为y=﹣x+b, 把E(,﹣)代入得﹣

+b=﹣,解得b=﹣

∴直线EM1的解析式为y=﹣x﹣

解方程组得

,则M1(,﹣);

作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,

设M2(x,x﹣5),

∵3=∴x=∴M2(

,﹣),

,﹣

)或(

,﹣).

综上所述,点M的坐标为(

【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题.

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