2017-2018学年河南省焦作市高二下学期数学期中试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝N*，则A∩B＝（ ） A．（0，3） 2}
2．（5分）复数z＝i（2﹣i）的实部与虚部的和等于（ ） A．1+2i
B．1﹣2i
C．1
D．3
B．{1，2}
C．{0，1，2}
D．{﹣1，0，1，
3．（5分）下列函数中，是奇函数且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A．y＝e﹣x
B．y＝|x|
C．y＝tanx ，则C．
D． D．
4．（5分）已知函数f（x）＝A．1
B．0
＝（ ）
5．（5分）已知某物体作变速直线运动，其速度v单位：m/s）关于时间t（单位：s）的关系是v＝4t+1，则在第2s至第3s间经过的位移是（ ） A．10m B．11m
C．12m
D．13m
6．（5分）已知实数x，y满足不等式组A．5
B．10
，则z＝3x+2y的最大值为（ ） C．11
D．13
7．（5分）①已知a，b是实数，若|a﹣1|+|b﹣1|＝0，则a＝1且b＝1，用反证法证明时，可假设a≠1且b≠1；②设a为实数，f（x）＝x2+ax+a，求证|f（1）|与|f（2）|中至少有一个不小于，用反证法证明时，可假设
．则（ ）
A．①的假设正确，②的假设错误 B．①的假设错误，②的假设正确 C．①与②的假设都错误 D．①与②的假设都正确
8．（5分）设曲线y＝ax+bex在（0，1）处的切线与直线y＝x+5垂直，则a+b＝
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，且
（ ） A．0
B．1
C．﹣1
D．﹣2
9．（5分）将石子摆成如图的梯形形状，各图中的石子数5，9，14，…依次构成
数列{an}，则a2018﹣9＝（ ）A．2016×2025
B．2015×2025
C．1008×2025
D．1010×2025
10．（5分）如图所示，某学习小组10名同学的一次测试成绩用茎叶图统计，其中甲同学的分数的个位数字模糊不清，在图中用x（0≤x≤9，x∈N）表示，则甲的分数大于这10名同学平均分的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图
所示，则下列判断错误的是（ ）A．直线B．点
是图象的一条对称轴 是图象的一个对称中心
上单调递减 上的最大值为
C．f（x）在区间D．f（x）在区间
12．（5分）函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），若f（x）＞f'（x）恒成立，且f（0）＝2018，则不等式f（x）＞2018ex的解集为（ ） A．（﹣∞，0）
B．（﹣∞，2）
C．（0，+∞）
D．（2，+∞）
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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）已知复数z满足
＝2+i，则z的共轭复数＝ ．
14．（5分）已知||＝1，||＝2，若⊥（+），则向量与的夹角为 ． 15．（5分）在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一人得了满分，当他们被问到谁得了满分时， 丙说：甲得到满分； 乙说：我得了满分； 甲说：丙说的是真话． 事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是真话，那么得满分的同学是 ． 16．（5分）平面几何中有如下结论：正方形的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则．推广到空间可以得到类似结论：已知正方体的内切球体积为V1，外接球的体积为V2，则＝ ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数（Ⅰ）求|z|； （Ⅱ）若复数z是方程x2+ax+b＝0的一个根，求实数a，b的值． 18．（12分）用数学归纳法证明：对于任意的． 19．（12分）已知数列{an}的首项a1＝1，（Ⅰ）证明：数列是等差数列； ．
． n∈N*，． （Ⅱ）设bn＝anan+1，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：
20．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+2，若曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1，且x＝1时，y＝f（x）取极值． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣4，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若方程f（x）＝m有三个不同的实数根，求实数m的取值范围．
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21．（12分）已知抛物线C：y2＝2px的焦点F与椭圆（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
的右焦点重合．
（Ⅱ）斜率为﹣1的直线l交抛物线C于不同两点A，B，求证：
．
22．（12分）某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约为﹣t2+7t百万元． （Ⅰ）若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此增加的收益最大？
（Ⅱ）现该公司准备共投入5百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x（1≤x≤5）百万元，可增加的销售额约为元，请设计一个资金分配方案，使该公司由此增加的收益最大．
（注：收益＝销售额﹣投入，这里除了广告费和技术改造费，不考虑其他的投入）
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