历年全国中考数学压轴题全析全解(1)

2006年全国中考数学压轴题全析全解

1、(2006重庆)如图1所示,一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成?AC1D1和?BC2D2两个三角形(如图2所示).将纸片?AC1D1沿直线D2B(AB)方向平移(点A,D1,D2,B始终在同一直线上),当点D1于点B重合时,停止平移.在平移过程中,C1D1与BC2交于点E,AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P. (1) 当?AC1D1平移到如图3所示的位置时,猜想图中的D1E与D2F的数量关系,并证明

你的猜想;

(2) 设平移距离D2D1为x,?AC1D1与?BC2D2重叠部分面积为y,请写出y与x的函数

关系式,以及自变量的取值范围;

(3)对于(2)中的结论是否存在这样的x的值,使重叠部分的面积等于原?ABC面积的若存在,求x的值;若不存在,请说明理由. 图1

图2

1. 4图3

A P

[解]

(1)D1E?D2F.因为C1D1∥C2D2,所以

?C1??AFD2.

又因为?ACB?90?,CD是斜边上的中线,

所以,DC?DA?DB,即C1D1?C2D2?BD2?AD1 所以,?C1??A,所以?AFD2??A 所以,AD2?D2F.同理:BD1?D1E.

又因为AD1?BD2,所以AD2?BD1.所以D1E?D2F

C Q D B

(2)因为在Rt?ABC中,AC?8,BC?6,所以由勾股定理,得AB?10. 即AD1?BD2?C1D1?C2D2?5

又因为D2D1?x,所以D1E?BD1?D2F?AD2?5?x.所以C2F?C1E?x 在?BC2D2中,C2到BD2的距离就是?ABC的AB边上的高,为

24. 5设?BED1的BD1边上的高为h,由探究,得?BC2D2∽?BED1,所以

h5?x. ?2455所以h?24(5?x)112.S?BED1??BD1?h?(5?x)2 25225又因为?C1??C2?90?,所以?FPC2?90?.

43,cosB?. 5534162所以PC2?x,PF?x ,S?FC2P?PC2?PF?x

552251126而y?S?BC2D2?S?BED1?S?FC2P?S?ABC?(5?x)2?x2

2252518224所以y??x?x(0?x?5)

255118224(3) 存在. 当y?S?ABC时,即?x?x?6

425552整理,得3x?20x?25?0.解得,x1?,x2?5.

351即当x?或x?5时,重叠部分的面积等于原?ABC面积的

34又因为?C2??B,sinB?2、(2006浙江金华)如图,平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于

A(3,0),B(0,3)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥x轴于点D.

(1)求直线AB的解析式; (2)若S梯形OBCD=43,求点C的坐标; 3(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的 三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件 的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

[解] (1)直线AB解析式为:y=?3x+3. 3(2)方法一:设点C坐标为(x,?33x+3),那么OD=x,CD=?x+3. 3332x?3. 6∴S梯形OBCD=

?OB?CD??CD=?2由题意:?3243x?3 =,解得x1?2,x2?4(舍去) 633) 3133433OA?OB?,S梯形OBCD=,∴S?ACD?. 2236∴ C(2,

方法二:∵ S?AOB?由OA=3OB,得∠BAO=30°,AD=3CD.

∴ S?ACD=

3331CD2=CD×AD=.可得CD=. 26323). 3∴ AD=1,OD=2.∴C(2,

(3)当∠OBP=Rt∠时,如图

①若△BOP∽△OBA,则∠BOP=∠BAO=30°,BP=3OB=3,

∴P1(3,

3). 33OB=1. 3 ②若△BPO∽△OBA,则∠BPO=∠BAO=30°,OP=

∴P2(1,3).

当∠OPB=Rt∠时

③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图),此时△PBO∽△OBA,∠BOP=∠BAO=30° 过点P作PM⊥OA于点M.

方法一: 在Rt△PBO中,BP=

313OB=,OP=3BP=.

222∵ 在Rt△PMO中,∠OPM=30°, ∴ OM=

3313333OP=;PM=3OM=.∴P3(,).

44244方法二:设P(x ,?33x+3),得OM=x ,PM=?x+3 33由∠BOP=∠BAO,得∠POM=∠ABO.

∵tan∠POM==

PM=OM?3x?3OA3 ,tan∠ABOC==3.

xOB∴?33333x+3=3x,解得x=.此时,P3(,). 3444④若△POB∽△OBA(如图),则∠OBP=∠BAO=30°,∠POM=30°. ∴ PM=

33OM=. 3433,)(由对称性也可得到点P4的坐标).

44∴ P4(

当∠OPB=Rt∠时,点P在x轴上,不符合要求.

综合得,符合条件的点有四个,分别是:

P1(3,

333333),P2(1,3),P3(,),P4(,).

43444o3、(2006山东济南)如图1,已知Rt△ABC中,?CAB?30,BC?5.过点A作

AE⊥AB,且AE?15,连接BE交AC于点P.

(1)求PA的长;

(2)以点A为圆心,AP为半径作⊙A,试判断BE与⊙A是否相切,并说明理由;

(3)如图2,过点C作CD⊥AE,垂足为D.以点A为圆心,r为半径作⊙A;以点C为圆心,R为半径作⊙C.若r和R的大小是可变化的,并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相.

切,且使D点在⊙A的内部,B点在⊙A的外部,求r和R的变化范围. . E E

P C

A A B

P C B [解]

图1

图2

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