2011浙江高考数学试卷(理)

考点:圆与圆锥曲线的综合。 专题:综合题。

分析:(I)由题意抛物线C1:x=y,可以知道其准线方程为错误!未找到引用源。,有圆C2:x+(y﹣4)=1的方程可以知道圆心坐标为(0,4),所求易得到所求的点到线的距离;

(II)由于已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),所以可以设出点P的坐标,利用过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A,B两点,也可以设出点A,B的坐标,再设出过P的圆C2的切线方程,利用交与抛物线C2两点,联立两个方程,利用根与系数之间的关系整体得到两切线的斜率的式子,有已知的MP⊥AB,得到方程进而求解. 解答:解:(I)由题意画出简图为: 由于抛物线C1:x=y,

利用抛物线的标准方程易知其准线方程为:y=﹣错误!未找到引用源。, 利用圆C2:x+(y﹣4)=1的方程得起圆心M(0,4), 利用点到直线的距离公式可以得到距离为错误!未找到引用源。. (II)设点P(x0,x0),A(x1,x1),B(x2,x2); 由题意得:x0≠0,x2≠±1,x1≠x2,

设过点P的圆c2的切线方程为:y﹣x0=k(x﹣x0)即y=kx﹣kx0+x0① 则错误!未找到引用源。,即(x0﹣1)k+2x0(4﹣x0)k+(x0﹣4)﹣1=0, 设PA,PB的斜率为k1,k2(k1≠k2),则k1,k2应该为上述方程的两个根, ∴错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。;

代入①得:x﹣kx+kx0﹣x0=0 则x1,x2应为此方程的两个根, 故x1=k1﹣x0,x2=k2﹣x0

∴kAB=x1+x2=k1+k2﹣2x0=错误!未找到引用源。 由于MP⊥AB,∴kAB?KMP=﹣1?错误!未找到引用源。 故P错误!未找到引用源。∴错误!未找到引用源。.

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点评:此题重点考查了抛物线即圆的标准方程,还考查了相应的曲线性质即设出直线方程,利用根与系数的思想整体代换,进而解出点的坐标,理应直线与圆相切得到要求的直线方程. 22、(2011?浙江)设函数f(x)=(x﹣a)lnx,a∈R (Ⅰ)若x=e为y=f(x)的极值点,求实数a;

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(Ⅱ)求实数a的取值范围,使得对任意的x∈(0,3a],恒有f(x)≤4e成立. 注:e为自然对数的底数.

考点:函数在某点取得极值的条件;导数在最大值、最小值问题中的应用。 专题:计算题。

分析:(I)利用极值点处的导数值为0,求出导函数,将x=e代入等于0,求出a,再将a的值代入检验. (II)对a分类讨论,求出f(x)的最大值,令最大值小于4e,解不等式求出a的范围.

解答:解:(I)求导得f′(x)=2(x﹣a)lnx+错误!未找到引用源。=(x﹣a)(2lnx+1﹣错误!未找到引用源。), 因为x=e是f(x)的极值点, 所以f′(e)=0 解得a=e或a=3e. 经检验,符合题意, 所以a=e,或a=3e

(II)①当0<3a≤1时,对于任意的实数x∈(0,3a],恒有f(x)≤0<4e成立,即0<a≤错误!未找到引用源。符合题意

②当3a>1时即a>错误!未找到引用源。时,由①知,x∈(0,1]时,不等式恒成立,故下研究函数在(1,3a]上的最大值,

首先有f(3a)=(3a﹣a)ln3a=4aln3a此值随着a的增大而增大,故应有 4aln3a≤4e即aln3a≤e,

故参数的取值范围是0<a≤错误!未找到引用源。或a>错误!未找到引用源。且aln3a≤e, 点评:本题考查函数的极值点的导数值为0、解不等式恒成立的参数范围常转化为求函数的最值.

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