x′＝2x??7π
5．平面直角坐标系中，若点P(3，)经过伸缩变换?12y′＝y?3?系中，极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于________．
后的点为Q，则极坐标
??x′＝2x7π7π【解析】 ∵点P(3，)经过伸缩变换?后的点为Q(6，)，则极坐标系中，126
??y′＝3y
7π
极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于6|sin |＝3.
6
【答案】 3
π
6．极坐标系中，点A的极坐标是(3，)，则
6
(1)点A关于极轴的对称点的极坐标是________； (2)点A关于极点的对称点的极坐标是________；
(3)点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ>0，θ∈[0,2π))
π11π
【解析】 点A(3，)关于极轴的对称点的极坐标为(3，)；点A关于极点的对称点
66
7π5π
的极坐标为(3，)；点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标为(3，)．
66
11π7π5π
【答案】 (1)(3，) (2)(3，) (3)(3，) 666
三、解答题(每小题10分，共30分)
?x′＝2x
7．已知点P的直角坐标按伸缩变换?变换为点P′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ<2π
?y′＝3y
时，求点P的极坐标．
???6＝2x，?x＝3，
【解】 设点P的直角坐标为(x，y)，由题意得?解得?
???－3＝3y，?y＝－3，
∴点P的直角坐标为(3，－3)， ρ＝
－3
3＋?－3?＝23，tan θ＝，
3
2
2
∵0≤θ<2π，点P在第四象限，
11π∴θ＝，
6
11π
∴点P的极坐标为(23，)．
6
π2π3π
8．(1)已知点的极坐标分别为A(3，－)，B(2，)，C(，π)，D(－4，)，求它们的
4322
直角坐标．
5
(2)已知点的直角坐标分别为A(3，3)，B(0，－)，C(－2，－23)，求它们的极坐标
3
(ρ≥0,0≤θ<2π)．
32323
【解】 (1)根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得A(，－)，B(－1，3)，C(－，0)，
222D(0，－4)
yπ53π4π
(2)根据ρ2＝x2＋y2，tan θ＝得A(23，)，B(，)，C(4，)．
x6323
π5π
9．在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A(2，)，B(2，π)，C(2，)．
33
(1)判断△ABC的形状； (2)求△ABC的面积．
π5π
【解】 (1)如图所示，由A(2，)，B(2，π)，C(2，)得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，
33
2π
∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝.
3∴△AOB≌△BOC≌△AOC， ∴AB＝BC＝CA， 故△ABC为等边三角形． (2)由上述可知，
π3
AC＝2OAsin＝2×2×＝23.
323
∴S△ABC＝×(23)2＝33(面积单位)．
4教师备选
10．某大学校园的部分平面示意图如图：
用点O，A，B，C，D，E，F，G分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600 m．建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0))．
【解】 以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m)，建立极坐标系，
ππ
由|OC|＝600 m，∠AOC＝，∠OAC＝，得|AC|＝300 m，|OA|＝3003 m，又|AB|＝|BC|，
62所以|AB|＝150 m.
同理，得|OE|＝2|OG|＝3002 m，
ππ3π
所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(3003，0)，C(600，)，D(300，)，E(3002，)，
624
3
F(300，π)，G(1502，π)．
4