2018版大一轮全国人教数学-历年高考真题与模拟题分类汇编 B单元 函数与导数理科2016年 含答案 精品

所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题:

①若点A的“伴随点”是点A′,则点A′的“伴随点”是点A; ②单位圆的“伴随曲线”是它自身;

③若曲线C关于x轴对称,则其“伴随曲线”C′关于y轴对称; ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.

其中的真命题是________(写出所有真命题的序号). 15.②③ ①设点A的坐标为(x,y),则其“伴随点”为A′?

-x??2y2,2

2?,故A′

?x+yx+y?

-xx2+y2

的“伴随点”的横坐标为=-x,同理可得纵坐标为-y,故点A′的“伴

22x??2y2?+?-

?x+y??x2+y2?????随点”是(-x,-y),故①错误.

②设单位圆上的点P的坐标为(cos θ,sin θ),则点P的伴随点P′的坐标为(sin θ,-cos θ),即P′cosθ-

ππ

,sinθ-,所以点P′也在单位圆上,故②正确. 22

③设曲线C上点A的坐标为(x,y),则其关于x轴对称的点A1(x,-y)也在曲线C上,点A的“伴随点”为A′?

-x?-x??2y2,2?-y点A1的“伴随点”为A′1?22,22?,点A′2?,

?x+yx+y??x+yx+y?

与A′1关于y轴对称,故③正确.

④取y=1这条直线,则A(0,1),B(1,1),C(2,1)都在直线上,这三个点的“伴随1?2??1?1

点”分别是A′(1,0),B′?,-?,C′?,-?,而A′,B′,C′三个点不在同一直

2?5??2?5线上,故④错误.

下面给出严格证明:

设点P(x,y)在直线l:Ax+By+C=0上,P点的“伴随点”为P′(x0,y0),

y-yx=,x = ???x+y?x+y,则?解得?

-xx??y=x+y,??y = x+y.

0

0

2220

200

0

2

2

20

20

将其代入直线l的方程可得A2

2

-y0x022+B22+C=0, x0+y0x0+y0

化简得-Ay0+Bx0+C(x0+y0)=0.

当C=0时,C(x0+y0)=0,P′的轨迹是一条直线;

当C≠0时,C(x0+y0)不是一个常数,P′的轨迹不是一条直线. 所以,直线的“伴随曲线”不一定是一条直线.

2

2

2

2

2x-1

20.B12,B14 已知f(x)=a(x-ln x)+2,a∈R.

x(1)讨论f(x)的单调性;

3

(2)当a=1时,证明f(x)>f′(x)+对于任意的x∈成立.

220.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),

a22(ax2-2)(x-1)

f′(x)=a--2+3=.

xxxx3

当a≤0时,若x∈(0,1),则f′(x)>0,f(x)单调递增, 若x∈(1,+∞),则f′(x)<0,f(x)单调递减. 当a>0时,f′(x)=(i)当0

a(x-1)

(x-x32

2

a)(x+

2

).

aa>1. 2

当x∈(0,1)或x∈(当x∈(1,

a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.

2

)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.

a(ii)当a=2时,(iii)当a>2时,0<当x∈(0,当x∈

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