所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．
其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)． 15．②③ ①设点A的坐标为(x，y)，则其“伴随点”为A′?
－x??2y2，2
2?，故A′
?x＋yx＋y?
－xx2＋y2
的“伴随点”的横坐标为＝－x，同理可得纵坐标为－y，故点A′的“伴
22x??2y2?＋?－
?x＋y??x2＋y2?????随点”是(－x，－y)，故①错误．
②设单位圆上的点P的坐标为(cos θ，sin θ)，则点P的伴随点P′的坐标为(sin θ，－cos θ)，即P′cosθ－
ππ
，sinθ－，所以点P′也在单位圆上，故②正确． 22
③设曲线C上点A的坐标为(x，y)，则其关于x轴对称的点A1(x，－y)也在曲线C上，点A的“伴随点”为A′?
－x?－x??2y2，2?－y点A1的“伴随点”为A′1?22，22?，点A′2?，
?x＋yx＋y??x＋yx＋y?
与A′1关于y轴对称，故③正确．
④取y＝1这条直线，则A(0，1)，B(1，1)，C(2，1)都在直线上，这三个点的“伴随1?2??1?1
点”分别是A′(1，0)，B′?，－?，C′?，－?，而A′，B′，C′三个点不在同一直
2?5??2?5线上，故④错误．
下面给出严格证明：
设点P(x，y)在直线l：Ax＋By＋C＝0上，P点的“伴随点”为P′(x0，y0)，
y－yx＝，x ＝ ???x＋y?x＋y，则?解得?
－xx??y＝x＋y，??y ＝ x＋y.
0
0
2220
200
0
2
2
20
20
将其代入直线l的方程可得A2
2
－y0x022＋B22＋C＝0， x0＋y0x0＋y0
化简得－Ay0＋Bx0＋C(x0＋y0)＝0.
当C＝0时，C(x0＋y0)＝0，P′的轨迹是一条直线；
当C≠0时，C(x0＋y0)不是一个常数，P′的轨迹不是一条直线． 所以，直线的“伴随曲线”不一定是一条直线．
2
2
2
2
2x－1
20．B12，B14 已知f(x)＝a(x－ln x)＋2，a∈R.
x(1)讨论f(x)的单调性；
3
(2)当a＝1时，证明f(x)>f′(x)＋对于任意的x∈成立．
220．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
a22（ax2－2）（x－1）
f′(x)＝a－－2＋3＝.
xxxx3
当a≤0时，若x∈(0，1)，则f′(x)>0，f(x)单调递增， 若x∈(1，＋∞)，则f′(x)<0，f(x)单调递减． 当a>0时，f′(x)＝(i)当0
a（x－1）
（x－x32
2
a）（x＋
2
）.
aa>1. 2
当x∈(0，1)或x∈（当x∈（1，
a，＋∞）时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
2
）时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
a(ii)当a＝2时，(iii)当a>2时，0<当x∈（0，当x∈