(3)证明:|f′(x)|≤2A.
21.解:(1)f′(x)=-2αsin 2x-(α-1)sin x.
(2)当α≥1时,|f(x)|=|αcos 2x+(α-1)(cos x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0),
因此A=3α-2.
当0<α<1时,将f(x)变形为f(x)=2αcosx+(α-1)cos x-1.
令g(t)=2αt+(α-1)t-1,则A是|g(t)|在上的最大值,g(-1)=α,g(1)=3α1-α1-α(α-1)
-2,且当t=时,g(t)取得极小值,极小值为g()=--1=-
4α4α8αα+6α+1. 8α
1-α11令-1<<1,解得α<-(舍去)或α>. 4α35
1
(i)当0<α≤时,g(t)在(-1,1)内无极值点,|g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-
51)|<|g(1)|,所以A=2-3α.
11-α(ii)当<α<1时,由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0,知g(-1)>g(1)> g().
54α又|g(
22
2
2
2
1-α(1-α)(1+7α)1-α
)|-|g(-1)|=>0,所以A=|g()|=4α8α4α
α+6α+1. 8α
??综上,A=?α+6α+11
,<α<1,
8α5??3α-2,α≥1.
2
12-3α,0<α≤,
5
(3)证明:由(1)得|f′(x)|=|-2αsin 2x-(α-1)sin x|≤2α+|α-1|. 1
当0<α≤时,|f′(x)|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A.
51α13
当<α<1时,A=++≥1,所以|f′(x)|≤1+α<2A. 588α4当α≥1时,|f′(x)|≤3α-1≤6α-4=2A,所以|f′(x)|≤2A. 21.B11,B12,E8 设函数f(x)=ax-a-ln x,其中a∈R. (1)讨论f(x)的单调性;
11-x(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)>-e在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…
2
x
为自然对数的底数).
12ax-1
21.解:(1)f′(x)=2ax-=(x>0).
2
xx当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减. 当a>0时,由f′(x)=0,有x=此时,当x∈(0,12a1,
2a12a,+∞)时,f′(x)>0,
)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(
f(x)单调递增.
11x-1
(2)令g(x)=-x-1,s(x)=e-x,
xe则s′(x)=e
x-1
-1.
而当x>1时,s′(x)>0,
所以s(x)在区间(1,+∞)内单调递增. 又s(1)=0,所以当x>1时,s(x)>0, 从而当x>1时,g(x)>0.
当a≤0,x>1时,f(x)=a(x-1)-ln x<0,
故当f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0. 11
当01.
22a11
由(1)有f()
2a2a所以此时f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立.