(3)证明：|f′(x)|≤2A.
21．解：(1)f′(x)＝－2αsin 2x－(α－1)sin x.
(2)当α≥1时，|f(x)|＝|αcos 2x＋(α－1)(cos x＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f(0)，
因此A＝3α－2.
当0<α<1时，将f(x)变形为f(x)＝2αcosx＋(α－1)cos x－1.
令g(t)＝2αt＋(α－1)t－1，则A是|g(t)|在上的最大值，g(－1)＝α，g(1)＝3α1－α1－α（α－1）
－2，且当t＝时，g(t)取得极小值，极小值为g（）＝－－1＝－
4α4α8αα＋6α＋1. 8α
1－α11令－1<<1，解得α<－(舍去)或α>. 4α35
1
(i)当0<α≤时，g(t)在(－1，1)内无极值点，|g(－1)|＝α，|g(1)|＝2－3α，|g(－
51)|<|g(1)|，所以A＝2－3α.
11－α(ii)当<α<1时，由g(－1)－g(1)＝2(1－α)>0，知g(－1)>g(1)> g（）.
54α又|g(
22
2
2
2
1－α（1－α）（1＋7α）1－α
)|－|g(－1)|＝>0，所以A＝|g()|＝4α8α4α
α＋6α＋1. 8α
??综上，A＝?α＋6α＋11
，<α<1，
8α5??3α－2，α≥1.
2
12－3α，0<α≤，
5
(3)证明：由(1)得|f′(x)|＝|－2αsin 2x－(α－1)sin x|≤2α＋|α－1|. 1
当0<α≤时，|f′(x)|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A.
51α13
当<α<1时，A＝＋＋≥1，所以|f′(x)|≤1＋α<2A. 588α4当α≥1时，|f′(x)|≤3α－1≤6α－4＝2A，所以|f′(x)|≤2A. 21．B11，B12，E8 设函数f(x)＝ax－a－ln x，其中a∈R. (1)讨论f(x)的单调性；
11－x(2)确定a的所有可能取值，使得f(x)＞－e在区间(1，＋∞)内恒成立(e＝2.718…
2
x
为自然对数的底数)．
12ax－1
21．解：(1)f′(x)＝2ax－＝(x>0)．
2
xx当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减． 当a>0时，由f′(x)＝0，有x＝此时，当x∈（0，12a1，
2a12a，＋∞）时，f′(x)>0，
）时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈（
f(x)单调递增．
11x－1
(2)令g(x)＝－x－1，s(x)＝e－x，
xe则s′(x)＝e
x－1
－1.
而当x>1时，s′(x)>0，
所以s(x)在区间(1，＋∞)内单调递增． 又s(1)＝0，所以当x>1时，s(x)>0， 从而当x>1时，g(x)>0.
当a≤0，x>1时，f(x)＝a(x－1)－ln x<0，
故当f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0. 11
当0
22a11
由(1)有f（）
2a2a所以此时f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立．