2018版大一轮全国人教数学-历年高考真题与模拟题分类汇编 B单元 函数与导数理科2016年 含答案 精品

(3)证明:|f′(x)|≤2A.

21.解:(1)f′(x)=-2αsin 2x-(α-1)sin x.

(2)当α≥1时,|f(x)|=|αcos 2x+(α-1)(cos x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0),

因此A=3α-2.

当0<α<1时,将f(x)变形为f(x)=2αcosx+(α-1)cos x-1.

令g(t)=2αt+(α-1)t-1,则A是|g(t)|在上的最大值,g(-1)=α,g(1)=3α1-α1-α(α-1)

-2,且当t=时,g(t)取得极小值,极小值为g()=--1=-

4α4α8αα+6α+1. 8α

1-α11令-1<<1,解得α<-(舍去)或α>. 4α35

1

(i)当0<α≤时,g(t)在(-1,1)内无极值点,|g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-

51)|<|g(1)|,所以A=2-3α.

11-α(ii)当<α<1时,由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0,知g(-1)>g(1)> g().

54α又|g(

22

2

2

2

1-α(1-α)(1+7α)1-α

)|-|g(-1)|=>0,所以A=|g()|=4α8α4α

α+6α+1. 8α

??综上,A=?α+6α+11

,<α<1,

8α5??3α-2,α≥1.

2

12-3α,0<α≤,

5

(3)证明:由(1)得|f′(x)|=|-2αsin 2x-(α-1)sin x|≤2α+|α-1|. 1

当0<α≤时,|f′(x)|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A.

51α13

当<α<1时,A=++≥1,所以|f′(x)|≤1+α<2A. 588α4当α≥1时,|f′(x)|≤3α-1≤6α-4=2A,所以|f′(x)|≤2A. 21.B11,B12,E8 设函数f(x)=ax-a-ln x,其中a∈R. (1)讨论f(x)的单调性;

11-x(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)>-e在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…

2

x

为自然对数的底数).

12ax-1

21.解:(1)f′(x)=2ax-=(x>0).

2

xx当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减. 当a>0时,由f′(x)=0,有x=此时,当x∈(0,12a1,

2a12a,+∞)时,f′(x)>0,

)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(

f(x)单调递增.

11x-1

(2)令g(x)=-x-1,s(x)=e-x,

xe则s′(x)=e

x-1

-1.

而当x>1时,s′(x)>0,

所以s(x)在区间(1,+∞)内单调递增. 又s(1)=0,所以当x>1时,s(x)>0, 从而当x>1时,g(x)>0.

当a≤0,x>1时,f(x)=a(x-1)-ln x<0,

故当f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0. 11

当01.

22a11

由(1)有f()0,

2a2a所以此时f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立.

1111

当a≥时,令h(x)=f(x)-g(x)(x≥1).当x>1时,h′(x)=2ax-+2-e1-x>x-+

2xxx1

2

x1x-2x+1x-2x+1

>>0. 2-=22

32

xxx因此,h(x)在区间(1,+∞)内单调递增.

又因为h(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x)恒成立. 1

综上,a∈[,+∞).

2

16.B12 若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=________.

1

16.1-ln 2 曲线y=ln x+2的切线为y=·x+ln x1+1(其中x1为切点横坐标),

x1

曲线y=ln(x+1)的切线为y=

1x2

·x+ln(x2+1)-(其中x2为切点横坐标). x2+1x2+1

11

=??xx+1,

由题可知?

x??ln x+1=ln(x+1)-x+1,1x=,??2解得?

1

??x=-2,1

2

2

1

2

2

12

∴b=ln x1+1=1-ln 2. 21.B12 (1)讨论函数f(x)=(2)证明:当a∈.

由(1)知,f(x)+a单调递增,对任意a∈,使得f(xa)+a=0,即g′(xa)=0. 当0xa时,f(x)+a>0,g′(x)>0,g(x)单调递增. 因此g(x)在x=xa处取得最小值,最小值为

x-2xxe的单调性,并证明当x>0时,(x-2)e+x+2>0. x+2

g(xa)=

exa-a(xa+1)exa+f(xa)(xa+1)exa==,

x2x2xa+2aaxxxexae(x+1)ee

于是h(a)=.由′=(x>0)单调递增, 2>0(x>0),可知y=

xa+2x+2(x+2)x+21eexaee

所以,由xa∈(0,2],得=

20+2xa+22+24

e1e

因为y=单调递增,对任意λ∈(,],存在唯一的xa∈(0,2],a=-f(xa)∈.

x+224综上,当a∈.

10.B12 若函数y=f(x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )

A.y=sin x B.y=ln x C.y=e D.y=x

10.A 由函数图像上两点处的切线互相垂直,可知函数在这两点处的导数之积为-1,经检验,选项A符合题意.

2x-1

20.B12,B14 已知f(x)=a(x-ln x)+2,a∈R.

x3

0

2

2

x2

x(1)讨论f(x)的单调性;

3

(2)当a=1时,证明f(x)>f′(x)+对于任意的x∈成立.

220.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),

a22(ax2-2)(x-1)

f′(x)=a--2+3=.

xxxx3

当a≤0时,若x∈(0,1),则f′(x)>0,f(x)单调递增, 若x∈(1,+∞),则f′(x)<0,f(x)单调递减. 当a>0时,f′(x)=(i)当0

a(x-1)

(x-x32

2

a)(x+

2

).

aa>1. 2

,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.

当x∈(0,1)或x∈(当x∈(1,

a2

)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.

a(ii)当a=2时,(iii)当a>2时,0<当x∈(0,当x∈

2

a=1,在区间(0,+∞)内,f′(x)≥0,f(x)单调递增. 2<1. a2

)或x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,

a2

,1时,f′(x)<0,f(x)单调递减.

a综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减; 当0<a<2时,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,∞)上单调递增;

当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a>2时,f(x)在(0,上单调递增.

(2)证明:由(1)知,当a=1时,

2

)上单调递增,在(22

a)上单调递减,在(2

a,+aa,1)上单调递减,在(1,+∞)

f(x)-f′(x)=x-ln x+

2x-1122312

-(1--2+3)=x-ln x++2-3-1,x∈. 2

xxxxxxx312

设g(x)=x-ln x,h(x)=+2-3-1,x∈,

xxx则f(x)-f′(x)=g(x)+h(x). 由g′(x)=

x-1

≥0, x可得g(x)≥g(1)=1,

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