(3)证明：|f′(x)|≤2A.
21．解：(1)f′(x)＝－2αsin 2x－(α－1)sin x.
(2)当α≥1时，|f(x)|＝|αcos 2x＋(α－1)(cos x＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f(0)，
因此A＝3α－2.
当0<α<1时，将f(x)变形为f(x)＝2αcosx＋(α－1)cos x－1.
令g(t)＝2αt＋(α－1)t－1，则A是|g(t)|在上的最大值，g(－1)＝α，g(1)＝3α1－α1－α（α－1）
－2，且当t＝时，g(t)取得极小值，极小值为g（）＝－－1＝－
4α4α8αα＋6α＋1. 8α
1－α11令－1<<1，解得α<－(舍去)或α>. 4α35
1
(i)当0<α≤时，g(t)在(－1，1)内无极值点，|g(－1)|＝α，|g(1)|＝2－3α，|g(－
51)|<|g(1)|，所以A＝2－3α.
11－α(ii)当<α<1时，由g(－1)－g(1)＝2(1－α)>0，知g(－1)>g(1)> g（）.
54α又|g(
22
2
2
2
1－α（1－α）（1＋7α）1－α
)|－|g(－1)|＝>0，所以A＝|g()|＝4α8α4α
α＋6α＋1. 8α
??综上，A＝?α＋6α＋11
，<α<1，
8α5??3α－2，α≥1.
2
12－3α，0<α≤，
5
(3)证明：由(1)得|f′(x)|＝|－2αsin 2x－(α－1)sin x|≤2α＋|α－1|. 1
当0<α≤时，|f′(x)|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A.
51α13
当<α<1时，A＝＋＋≥1，所以|f′(x)|≤1＋α<2A. 588α4当α≥1时，|f′(x)|≤3α－1≤6α－4＝2A，所以|f′(x)|≤2A. 21．B11，B12，E8 设函数f(x)＝ax－a－ln x，其中a∈R. (1)讨论f(x)的单调性；
11－x(2)确定a的所有可能取值，使得f(x)＞－e在区间(1，＋∞)内恒成立(e＝2.718…
2
x
为自然对数的底数)．
12ax－1
21．解：(1)f′(x)＝2ax－＝(x>0)．
2
xx当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减． 当a>0时，由f′(x)＝0，有x＝此时，当x∈（0，12a1，
2a12a，＋∞）时，f′(x)>0，
）时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈（
f(x)单调递增．
11x－1
(2)令g(x)＝－x－1，s(x)＝e－x，
xe则s′(x)＝e
x－1
－1.
而当x>1时，s′(x)>0，
所以s(x)在区间(1，＋∞)内单调递增． 又s(1)＝0，所以当x>1时，s(x)>0， 从而当x>1时，g(x)>0.
当a≤0，x>1时，f(x)＝a(x－1)－ln x<0，
故当f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0. 11
当0
22a11
由(1)有f（）
2a2a所以此时f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立．
1111
当a≥时，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1)．当x>1时，h′(x)＝2ax－＋2－e1－x>x－＋
2xxx1
2
x1x－2x＋1x－2x＋1
>>0. 2－＝22
32
xxx因此，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．
又因为h(1)＝0，所以当x>1时，h(x)＝f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)恒成立． 1
综上，a∈[，＋∞).
2
16．B12 若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________．
1
16．1－ln 2 曲线y＝ln x＋2的切线为y＝·x＋ln x1＋1(其中x1为切点横坐标)，
x1
曲线y＝ln(x＋1)的切线为y＝
1x2
·x＋ln(x2＋1)－(其中x2为切点横坐标)． x2＋1x2＋1
11
＝??xx＋1，
由题可知?
x??ln x＋1＝ln（x＋1）－x＋1，1x＝，??2解得?
1
??x＝－2，1
2
2
1
2
2
12
∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2. 21．B12 (1)讨论函数f(x)＝(2)证明：当a∈．
由(1)知，f(x)＋a单调递增，对任意a∈，使得f(xa)＋a＝0，即g′(xa)＝0. 当0
x－2xxe的单调性，并证明当x>0时，(x－2)e＋x＋2>0. x＋2
g(xa)＝
exa－a（xa＋1）exa＋f（xa）（xa＋1）exa＝＝，
x2x2xa＋2aaxxxexae（x＋1）ee
于是h(a)＝.由′＝(x>0)单调递增， 2>0(x>0)，可知y＝
xa＋2x＋2（x＋2）x＋21eexaee
所以，由xa∈(0，2]，得＝ 20＋2xa＋22＋24 e1e 因为y＝单调递增，对任意λ∈（，]，存在唯一的xa∈(0，2]，a＝－f(xa)∈. x＋224综上，当a∈. 10．B12 若函数y＝f(x)的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是( ) A．y＝sin x B．y＝ln x C．y＝e D．y＝x 10．A 由函数图像上两点处的切线互相垂直，可知函数在这两点处的导数之积为－1，经检验，选项A符合题意． 2x－1 20．B12，B14 已知f(x)＝a(x－ln x)＋2，a∈R. x3 0 2 2 x2 x(1)讨论f(x)的单调性； 3 (2)当a＝1时，证明f(x)>f′(x)＋对于任意的x∈成立． 220．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， a22（ax2－2）（x－1） f′(x)＝a－－2＋3＝. xxxx3 当a≤0时，若x∈(0，1)，则f′(x)>0，f(x)单调递增， 若x∈(1，＋∞)，则f′(x)<0，f(x)单调递减． 当a>0时，f′(x)＝(i)当0 a（x－1） （x－x32 2 a）（x＋ 2 ）. aa>1. 2 ，＋∞）时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 当x∈(0，1)或x∈（当x∈（1， a2 ）时，f′(x)<0，f(x)单调递减． a(ii)当a＝2时，(iii)当a>2时，0<当x∈（0，当x∈ 2 a＝1，在区间(0，＋∞)内，f′(x)≥0，f(x)单调递增． 2<1. a2 ）或x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， a2 ，1时，f′(x)<0，f(x)单调递减． a综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0＜a＜2时，f(x)在(0，1)上单调递增，在（1，∞）上单调递增； 当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＞2时，f(x)在（0，上单调递增． (2)证明：由(1)知，当a＝1时， 2 ）上单调递增，在（22 a）上单调递减，在（2 a，＋aa，1）上单调递减，在(1，＋∞) f(x)－f′(x)＝x－ln x＋ 2x－1122312 －（1－－2＋3）＝x－ln x＋＋2－3－1，x∈． 2 xxxxxxx312 设g(x)＝x－ln x，h(x)＝＋2－3－1，x∈， xxx则f(x)－f′(x)＝g(x)＋h(x)． 由g′(x)＝ x－1 ≥0， x可得g(x)≥g(1)＝1，