u x
= + +
≤≤
max { 4 5(0.9 0.1 )} max {0.5 8.5 } 0 4 4 4 4 0 4 4 4 4 4 4 u x x u u x
u x u x
= + + ? = +
≤≤≤≤
当4 4 u = x 时，4 4 4 f (x ) = 9x （3）k = 3时，
( ) max { 4 9 } 3 3 0 3 3 4
3 3
f x u x x
u x
= + +
≤≤
max { 4 9(0.9 0.1 )} max {0.1 12.1 } 0 3 3 3 3 0 3 3 3 3 3 3 u x x u u x
u x u x
= + + ? = +
≤≤≤≤
当3 3 u = x 时，3 3 3 f (x ) = 12.2x （4）k = 2时，
( ) max { 4 12.2 } max { 0.22 14.98 } 2 2 0 2 2 3 0 2 2
2 2 2 2
f x u x x u x
u x u x
= + + = ? +
≤≤≤≤
当0 2 u = 时，2 2 2 f (x ) = 14.98x 。 （5）k = 1时，
( ) max{ 4 14.98 } max{ 0.498 17.482 } 1 1 0 1 1 2 0 1 1
1 1 1 1
f x u x x u x
u x u x
= + + = ? +
≤≤≤≤
当0 1 u = 时，1 1 1 f (x ) = 17.482x 。因为 1000 1 x = （台）
-65-
所以由（12）式，进行回代得
0.9 0.1 900 2 1 1 x = x ?u = （台） 0.9 0.1 810 3 2 2 x = x ?u = （台） 0.9 0.1 648 4 3 3 x = x ?u = （台）
0.9 0.1 518.4 5 4 4 x = x ?u = （台）
注：518.4 5 x = 台中的0.4 台应理解为有一台机器只能使用0.4 年将报废。
例7 求解下面问题
3 2
max z = u u u ??? ≥ =
+ + = > 0 1,2,3 ( 0) 1 2 3 u i
u u u c c
1 2 i
解：按问题的变量个数划分阶段，把它看作为一个三阶段决策问题。设状态变量
为1 2 3 4 x , x , x , x ，并记x = c 1 ；取问题中的变量1 2 3 u ,u ,u 为决策变量；各阶段指标函数
按乘积方式结合。令最优值函数( ) k k f x 表示第k 阶段的初始状态为k x ，从k 阶段到3 阶段所得到的最大值。
设3 3 x = u ，3 2 2 x + u = x ，x + u = x = c 2 1 1 则有
3 3
u = x ，2 2 0 ≤u ≤x ，1 1 0 ≤u ≤x ( ) max{ }
用逆推解法，从后向前依次有
3 3 3 3
3 3
f x u x
u x
= =
=
及最优解3
*
u = x
( ) max { ( )} max { ( )} max ( , ) 2 2 0 2 2 2
3 2 3 3 0 2 2 2 2 0 2
2 2 2 2 2 2
f x u f x u x u h u x
≤u ≤x ≤u ≤x ≤u ≤x
= = ? = 由2 3 2 0
2 2 2 2
= u x ?u = du dh
，得2 2 3
u = 2 x 和0 2 u = （舍去）
2
又2 2 2
2 2 2
2x 6u du
d h = ?，而2 0 2
3 2 2 2 2 2
2 2
= ?<
=
x du d h
u x
，故2 2 3
u = 2 x 为极大值点。
所以3
27
f (x ) = 4 x 及最优解2
2 2 2 *
3
u = 2 x 。 ( ) } 27
( ) max{ ( )} max{ 4 3
2
1 1 0 1 2 2 0 1 1 1
1 1 1 1
f x u f x u x u
u x u x
= = ?
≤≤≤≤
同样利用微分法易知4
1 1 1
64
f (x ) = 1 x ，最优解1
*
4
u = 1 x 。
由于1 x 已知，因而按计算的顺序反推算，可得各阶段的最优决策和最优值。即 u c 4 * 1 1 = ，4 1 1 64
f (x ) = 1 c
1
由
x x u c c c 4 3 4 * 1
2 1 1 = ? = ? =
-66-
所以
u x c 2 1 3 2
2 *
= = ，3 2 2 16
f (x ) = 1 c
2
由
x x u c c c 4 1 2 1 4 * 3
3 2 2 = ? = ? =
所以
u c 4 * 1
3 = ，f x c