北京市高三数学一轮复习 专题突破训练 圆锥曲线 理

uuuruuur2y因为OA⊥OB,所以OA?OB?0,即tx0?2y0?0,解得t??0.

x0t2当x0?t时,y0??,代入椭圆C的方程,得t??2, 2故直线AB的方程为x??2.圆心O到直线AB的距离d?2. 此时直线AB与圆x2?y2?2相切. 当x0?t时,直线AB的方程为y?2?即?y0?2?x??x0?t?y?2x0?ty0?0. 圆心O到直线AB的距离d?2x0?ty0y0?2?x?t?, x0?t?y0?2?2??x0?t?2.

22?2y0?4,t??又x02y0,故 x024?x0x0d?22y02x0?x022x0?y0?4y?4x2020?x?8x?162x402020?2. 此时直线AB与圆x2?y2?2相切.

法二:

由题意知,直线OA的斜率存在,设为k,则直线OA的方程为y?kx,OA⊥OB, ①当k?0时,A??2?0?,易知B?0?2?,此时直线AB的方程为x?y?2或?x?y?2, 原点到直线AB的距离为2,此时直线AB与圆x2?y2?2相切; 1②当k?0时,直线OB的方程为y??x,

k??y?kx22k联立?2得点的坐标?A?221?2k2?x?2y?4?1?2k1??y??x联立?k得点B的坐标??2k?2?,

??y?2??22k???或??21?2k2??1?2k??; ??22k?由点A的坐标的对称性知,无妨取点A???进行计算, 221?2k??1?2k

2k于是直线AB的方程为:y?2?1?2k21?2k2?2?x?2k???2kk?1?2k21?k1?2k2?x?2k?,

2即k?1?2k2x?1?k1?2k2y?2k2?2?0,

2k2?2????原点到直线AB的距离d??k?1?2k2???1?k21?2k2?2?2,

此时直线AB与圆x2?y2?2相切。 综上知,直线AB一定与圆x2?y2?2相切. 法三:

①当k?0时,A??2?0?,易知B?0?2?,此时OA?2?OB?2,

AB?22?22?22,原点到直线AB的距离d?OA?OBAB?2?222?2,、

此时直线AB与圆x2?y2?2相切; 1②当k?0时,直线OB的方程为y??x,

k设A?x1?y1??B?x2?y2?,则OA?1?k2x1,OB?1???k?y2?21?k2,

2??y?kx22k联立?2得点的坐标?A?221?2k2?x?2y?4?1?2k于是OA?1?kxA?4?1?k2?1?2k22??22k???或??21?2k2??1?2k??; ?21?k21?2k2,OB?21?k2,

AB??4?1?k2??21?k222?1?k2?1?2k?21?k22,

所以d?OA?OBAB21?2k?22?1?k2??2,直线AB与圆x2?y2?2相切;

1?2k2综上知,直线AB一定与圆x2?y2?2相切

x22

3、解:(1)椭圆W:+y=1的右顶点B的坐标为(2,0).

4

因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.

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+m=1,即m=?. 2411所以菱形OABC的面积是|OB|·|AC|=×2×2|m|=3. 22所以可设A(1,m),代入椭圆方程得

(2)假设四边形OABC为菱形.

因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0).

?x2?4y2?4,222由?消y并整理得(1+4k)x+8kmx+4m-4=0. ?y?kx?m设A(x1,y1),C(x2,y2),

x1?x2y1?y2x1?x24kmm,. ???k??m?21?4k2221?4k2m??4km,所以AC的中点为M??. 22?1?4k1?4k??1因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为?.

4k?1?因为k·???≠-1,所以AC与OB不垂直.

4k??则

所以OABC不是菱形,与假设矛盾.

所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形. 4、

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