【解析】
Ⅰ 由题意利用相互独立及其对立事件的概率计算公式可得
．
Ⅱ 由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量 （单位：百元），则 的值可以为 ， ， ， ， ， ， ．再利用相互独立事件的概率计算公式即可得出． 【解答】
由题意，得 ，
因为 ，解得 ．
由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量 （单位：百元）， 则 的值可以为 ， ， ， ， ， ， ．
而 ； ； ； ； ；
； ．
所以 的分布列为：
于是有
如图，在四棱锥 中， ， ， ． 为棱 的中点，异面直线 与 所成的角为 ．
（1）在平面 内找一点 ，使得直线 平面 ，并说明理由；
（2）若二面角 的大小为 ，求二面角 的余弦值． 【答案】 解：（1）延长 交直线 于点 ， ∵ 点 为 的中点，∴ ， ∵ ，∴ ，
试卷第13页，总21页
∵ ，即 ．∴ 四边形 为平行四边形，即 ． ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ 平面 ， ∴ 平面 ，…
∵ ， 平面 ，∴ 平面 ，故在平面 内可以找到一点 ，使得直线 平面 …
（2）如图所示，∵ ，异面直线 与 所成的角为 ，即 又 ， ∴ 平面 ． 又 即 ∴ 平面 ∴ ．
因此 是二面角 的平面角，其大小为 ． ∴ ． …
建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 ，则 ． ∴ ， ， ， ∴ ， ， ， 易知平面 的法向量为 设平面 的法向量为
，则
，可得： ．
令 ，则 ， ，∴ ． … 设二面角 的平面角为 ，
则
．
∴ 二面角 的余弦值为 ． …
【考点】
二面角的平面角及求法 直线与平面平行的判定 【解析】
（1）延长 交直线 于点 ，证明 ，即可使得直线 平面 ；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 ，则 ．求出平面的法向量，即可求二面角 的余弦值． 【解答】 解：（1）延长 交直线 于点 ， ∵ 点 为 的中点，∴ ，
试卷第14页，总21页
∵ ，∴ ，
∵ ，即 ．∴ 四边形 为平行四边形，即 ． ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ 平面 ， ∴ 平面 ，…
∵ ， 平面 ，∴ 平面 ，故在平面 内可以找到一点 ，使得直线 平面 …
（2）如图所示，∵ ，异面直线 与 所成的角为 ，即 又 ， ∴ 平面 ． 又 即 ∴ 平面 ∴ ．
因此 是二面角 的平面角，其大小为 ． ∴ ． …
建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 ，则 ． ∴ ， ， ， ∴ ， ， ， 易知平面 的法向量为 设平面 的法向量为
，则
，可得： ．
令 ，则 ， ，∴ ． … 设二面角 的平面角为 ，
则
．
∴ 二面角 的余弦值为 ． …
已知椭圆
的一个焦点为 ，其左顶点 在圆 ＝ 上． （1）求椭圆 的方程；
（2）直线 ＝ 交椭圆 于 ， 两点，设点 关于 轴的对称点为 （点 与点 不重合），且直线 与 轴的交于点 ，试问 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】
∵ 椭圆 的左顶点 在圆 ＝ 上，∴ 又∵ 椭圆的一个焦点为 ，∴ ＝ ∴ ＝ ＝
试卷第15页，总21页
∴ 椭圆 的方程为
设 ， ，则直线与椭圆 方程联立
化简并整理得 ＝ ， ∴ ，
由题设知 ∴ 直线 的方程为
令 ＝ 得 ∴ 点
，
（当且仅当
即
， 时等号成立）
∴ 的面积存在最大值，最大值为 ． 【考点】 椭圆的离心率 椭圆的应用
直线与椭圆的位置关系 【解析】
（1）由椭圆 的左顶点 在圆 ＝ 上，求得 ，由椭圆的一个焦点得 ＝ ，由 ＝ 得 ，即可．
（2）由题意， ，可得直线 的方程，令 ＝ ，可得点 的坐标为 ． 利用 的面积为 ，化简了基本不等式的性质即可得出． 【解答】
∵ 椭圆 的左顶点 在圆 ＝ 上，∴ 又∵ 椭圆的一个焦点为 ，∴ ＝ ∴ ＝ ＝ ∴ 椭圆 的方程为
设 ， ，则直线与椭圆 方程联立
化简并整理得 ＝ ， ∴ ，
由题设知 ∴ 直线 的方程为
令 ＝ 得 ∴ 点
，
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